Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,BC=2a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a\sqrt{3}.$ Gọi M là trung điểm của $AC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SM$ bằng
A. $\dfrac{2a}{\sqrt{13}}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{13}$
C. $\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$
D. $\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$
A. $\dfrac{2a}{\sqrt{13}}$
B. $\dfrac{2a\sqrt{3}}{13}$
C. $\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$
D. $\dfrac{a\sqrt{39}}{13}$
Phương pháp:
Sử dụng lý thuyết: Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ bằng góc giữa đường thẳng $a$ với mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $b$ mà song song với $a.$
Cách giải:
Gọi $N$ là trung điểm của $BC$ thì $AB//MN$ suy ra $d\left( AB,MN \right)=d\left( AB,\left( SMN \right) \right)=d\left( A,\left( SMN \right) \right)$.
Gọi $E$ là hình chiếu của $A$ lên $MN\Rightarrow ME\bot \left( SAE \right).$
Mà $SA\bot ME$ nên suy ra $NE\bot \left( SAE \right).$
Gọi $F$ là hình chiếu của $A$ lên $SE\Rightarrow AF\bot SE$
Mà $EN\bot \left( SAE \right)\Rightarrow NE\bot AF.$
Do đó: $AF\bot \left( SEN \right)$ hay $d\left( A,\left( SMN \right) \right)=d\left( A,\left( SEN \right) \right)=AF$
Tam giác $SAE$ vuông tại $A$ ta có: $\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}$
Thay số ta tính được $AF=\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$
Vậy $d\left( AB,SM \right)=\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}.$
Sử dụng lý thuyết: Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ bằng góc giữa đường thẳng $a$ với mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $b$ mà song song với $a.$
Cách giải:
Gọi $N$ là trung điểm của $BC$ thì $AB//MN$ suy ra $d\left( AB,MN \right)=d\left( AB,\left( SMN \right) \right)=d\left( A,\left( SMN \right) \right)$.
Gọi $E$ là hình chiếu của $A$ lên $MN\Rightarrow ME\bot \left( SAE \right).$
Mà $SA\bot ME$ nên suy ra $NE\bot \left( SAE \right).$
Gọi $F$ là hình chiếu của $A$ lên $SE\Rightarrow AF\bot SE$
Mà $EN\bot \left( SAE \right)\Rightarrow NE\bot AF.$
Do đó: $AF\bot \left( SEN \right)$ hay $d\left( A,\left( SMN \right) \right)=d\left( A,\left( SEN \right) \right)=AF$
Tam giác $SAE$ vuông tại $A$ ta có: $\dfrac{1}{A{{F}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{E}^{2}}}$
Thay số ta tính được $AF=\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$
Vậy $d\left( AB,SM \right)=\dfrac{2a\sqrt{39}}{13}.$
Đáp án C.