Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABC}$ có đáy ${ABC}$ là tam giác vuông tại ${A}$, ${\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)}$, ${AB = 3a}$, ${BC = 5a}$. Biết rằng ${SA = 2a\sqrt 3 }$ và ${\widehat {SAC} = 30^\circ }$. Khoảng cách từ điểm ${A}$ đến ${\left( {SBC} \right)}$ bằng
A. ${\dfrac{{3\sqrt 7 }}{{14}}a}$.
B. ${\dfrac{{3\sqrt {17} }}{4}a}$.
C. ${\dfrac{{6\sqrt 7 }}{7}a}$.
D. ${\dfrac{{12}}{5}a.}$
• $\Delta ABC$ vuông tại A, $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}A{{B}^{2}}}=4a.$
• Theo giá thiết xét $\Delta SAC$
$S{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}2.SA.AC.\cos {{30}^{0}}=4{{a}^{2}}=SC=2a.$
•Vì $S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\left( =16{{a}^{2}} \right)$ nên $\Delta SAC$ vuông tại $S\Rightarrow SC\bot SA\left( 1 \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( ABC \right)=AC\Rightarrow AB\bot \left( SAC \right)\Rightarrow SC\bot AB\left( 2 \right) \\
& \left( ABC \right)\supset AB,AB\bot AC \\
\end{aligned} \right.$
• $\Delta SAB$ vuông tại A, ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{3}SA.AB=3{{a}^{2}}.\sqrt{3}.$
•(1), (2) $\Rightarrow SCI\bot \left( SAB \right)=SC\bot SB\Rightarrow SB=\sqrt{B{{C}^{2}}-S{{C}^{2}}}=a\sqrt{21}$
$.\left\{ \begin{aligned}
& V={{V}_{C.SAB}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{SAB}}.SC=2{{a}^{3}}.\sqrt{3} \\
& {{S}_{SBC}}=\dfrac{1}{2}.SB.SC={{a}^{2}}.\sqrt{21} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow d\left[ A;\left( SBC \right) \right]=\dfrac{3.{{V}_{A.SBC}}}{{{S}_{SBC}}}=\dfrac{3V}{{{S}_{SBC}}}=\dfrac{6a\sqrt{7}}{7}$
Vậy $d\left[ A\left( SBC \right) \right]=\dfrac{6.\sqrt{7}}{7}.a$ (đvd)
A. ${\dfrac{{3\sqrt 7 }}{{14}}a}$.
B. ${\dfrac{{3\sqrt {17} }}{4}a}$.
C. ${\dfrac{{6\sqrt 7 }}{7}a}$.
D. ${\dfrac{{12}}{5}a.}$
• $\Delta ABC$ vuông tại A, $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}A{{B}^{2}}}=4a.$
• Theo giá thiết xét $\Delta SAC$
$S{{C}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}2.SA.AC.\cos {{30}^{0}}=4{{a}^{2}}=SC=2a.$
•Vì $S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}\left( =16{{a}^{2}} \right)$ nên $\Delta SAC$ vuông tại $S\Rightarrow SC\bot SA\left( 1 \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAC \right)\cap \left( ABC \right)=AC\Rightarrow AB\bot \left( SAC \right)\Rightarrow SC\bot AB\left( 2 \right) \\
& \left( ABC \right)\supset AB,AB\bot AC \\
\end{aligned} \right.$
• $\Delta SAB$ vuông tại A, ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{3}SA.AB=3{{a}^{2}}.\sqrt{3}.$
•(1), (2) $\Rightarrow SCI\bot \left( SAB \right)=SC\bot SB\Rightarrow SB=\sqrt{B{{C}^{2}}-S{{C}^{2}}}=a\sqrt{21}$
$.\left\{ \begin{aligned}
& V={{V}_{C.SAB}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{SAB}}.SC=2{{a}^{3}}.\sqrt{3} \\
& {{S}_{SBC}}=\dfrac{1}{2}.SB.SC={{a}^{2}}.\sqrt{21} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow d\left[ A;\left( SBC \right) \right]=\dfrac{3.{{V}_{A.SBC}}}{{{S}_{SBC}}}=\dfrac{3V}{{{S}_{SBC}}}=\dfrac{6a\sqrt{7}}{7}$
Vậy $d\left[ A\left( SBC \right) \right]=\dfrac{6.\sqrt{7}}{7}.a$ (đvd)
Đáp án C.