Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C,H$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{HB}=-2\overrightarrow{HA}$ và $SH\bot \left( ABC...

Phương pháp:
- Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $HM\bot BC,HN\bot AC.$
Chứng minh $\angle \left( \left( SAC \right);\left( ABC \right) \right)=\angle SNH,\angle \left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)=\angle SMH.$
- Chứng minh $SH=HM=HN=MC.$
- Sử dụng định lí Ta-lét và định lí Pytago tính $SH,$ từ đó tính $AC,BC.$
- Tính ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}.$
Cách giải:

Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $HM\bot BC,HN\bot AC.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot HN \\
& AC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SHN \right)\Rightarrow AC\bot SN.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\cap \left( ABC \right)=AC \\
& SN\subset \left( SAC \right),SN\bot AC \\
& HN\subset \left( ABC \right),HN\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SAC \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SN;HN \right)=\angle SNH={{45}^{0}}$

CMTT ta có $\angle S M H=45^{\circ}$.
$\Rightarrow \Delta S H N, \Delta S H M$ là các tam giác vuông cân tại $H \Rightarrow S H=H M=H N$.
$\Rightarrow C M H N$ là hình vuông $\Rightarrow C M=H N=H M=S H$.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có $\dfrac{H N}{B C}=\dfrac{A H}{A B}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow H N=\dfrac{1}{3} B C \Rightarrow C M=\dfrac{1}{3} B C$.
$\Rightarrow B M=2 M C=2 S H .$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $S B^{2}=S H^{2}+H B^{2}=S H^{2}+B M^{2}+M H^{2}$
$\Rightarrow 6 a^{2}=S H^{2}+4 S H^{2}+S H^{2}=6 S H^{2} \Rightarrow S H=a$
$\Rightarrow B C=3 C M=3 S H=3 a .$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{M H}{A C}=\dfrac{B H}{B A}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow A C=\dfrac{3}{2} M H=\dfrac{3}{2} S H=\dfrac{3 a}{2}$
$\Rightarrow S_{\Delta A B C}=\dfrac{1}{2} A C \cdot B C=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3 a}{2} \cdot 3 a=\dfrac{9 a^{2}}{4} .$
Vậy $V_{S . A B C}=\dfrac{1}{3} S H \cdot S_{\Delta A B C}=\dfrac{1}{3} \cdot a \cdot \dfrac{9 a^{2}}{4}=\dfrac{3 a^{3}}{4}$.