Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,$ mặt...

Cách giải:
Sưu tầm nhóm Toán VD - VDC

Gọi $H$ là trung điểm của $AC,$ có $\Delta SAC$ cân tại $S$ nên $SH\bot AC.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)=AC \\
& SH\subset \left( SAC \right),SH\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right).$
Kẻ $HP\bot BC,HQ\bot AB$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot HP \\
& BC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SHP \right)\Rightarrow BC\bot SP$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& SP\subset \left( SBC \right),SP\bot BC \\
& HP\subset \left( ABC \right),HP\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SP;HP \right)=\angle SPH={{45}^{0}}.$
Chứng minh tương tự ta có $\angle SQH={{60}^{0}}$
Từ $A$ kẻ đường thẳng $d//BC,$ kẻ $HK\bot d.$ Nối $SK$ và kẻ $HI\bot HK.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot HK \\
& AK\bot HK \\
& AK\bot SH \\
& HK\cap SH=H \\
& HK,SH\subset \left( SHK \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AK\bot \left( SHK \right)\Rightarrow AK\bot HI.$
Mà $HI\bot SJ,AK\cap SK=K,AK,SK\subset \left( SAK \right)$ nên $HI\bot \left( SAK \right)\Rightarrow d\left( H;\left( SAK \right)=HI \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC//AK \\
& AK\subset \left( SAK \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC//\left( SAK \right)\supset SA.$
$\Rightarrow d\left( SA;BC \right)=d\left( BC;\left( SAK \right) \right)=d\left( B;\left( SAK \right) \right)=2d\left( H;\left( SAK \right) \right)=2HI=a\Rightarrow HI=\dfrac{a}{2}.$
Lại có $\left\{ \begin{aligned}
& BC//HK \\
& HK\bot AK,HP\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H,K,P $ thẳng hàng và $ \dfrac{HP}{HK}=\dfrac{HC}{HA}=1\Rightarrow HK=HP$
Đặt $SH=x\left( x>0 \right).$
Tam giác $SHP$ vuông tại $H$ và có $\angle SPH={{45}^{0}}$ nên $\Delta SHP$ vuông cân tại $H\Rightarrow HP=HK=x.$
$\Delta SHK$ vuông tại $H,HI\bot SK\Rightarrow HI=\dfrac{SH.SK}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}\Rightarrow \dfrac{a}{2}=\dfrac{{{x}^{2}}}{x\sqrt{2}}\Rightarrow x=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Tam giác $SHQ$ vuông tại $H$ có $\angle SQH={{60}^{0}}\Rightarrow HQ=\dfrac{SH}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{x}{\sqrt{3}}.$
Lại có $\Delta ABC$ vuông tại $B$ nên HP // AB, HQ // BC, mà H là trung điểm của AC nên HP. HQ là các đường trung bình của tam giác ABC.
$\Rightarrow AB=2x=a\sqrt{2},BC=\dfrac{2x}{\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{18}.$