Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$. Biết $\Delta SAB$ là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABC$ biết $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Phương pháp:
- Xác định đường cao của hình chóp.
- Sử dụng công thức tính thể tích hình chóp khi biết đường cao và diện tích đáy.
Cách giải:
Gọi Ilà trung điểm cạnh AB, vì ∆ SAB đều ⇒ SI⊥ AB.
Ta có:$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB\Rightarrow SI\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAB \right)\supset SI\bot AB \\
\end{aligned} \right. $ $ $
∆ SAB là tam giác đều cạnh a⇒ SI= $=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ .
∆ ABC vuông tại B có AB= a, AC= $a\sqrt{3}$ ⇒ BC= $a\sqrt{2}$ (Định lí Pytago).
⇒ ${{s}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SI.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
- Xác định đường cao của hình chóp.
- Sử dụng công thức tính thể tích hình chóp khi biết đường cao và diện tích đáy.
Cách giải:
Gọi Ilà trung điểm cạnh AB, vì ∆ SAB đều ⇒ SI⊥ AB.
Ta có:$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB\Rightarrow SI\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SAB \right)\supset SI\bot AB \\
\end{aligned} \right. $ $ $
∆ SAB là tam giác đều cạnh a⇒ SI= $=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ .
∆ ABC vuông tại B có AB= a, AC= $a\sqrt{3}$ ⇒ BC= $a\sqrt{2}$ (Định lí Pytago).
⇒ ${{s}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SI.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
Đáp án C.