Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,BC=2a,BA=a\sqrt{3}.$ Biết tam giác $SAB$ vuông tại $A,$ tam giác $SBC$ cân tại...

+ Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ dựng hình chữ nhật $ABMH$
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SH \\
& BC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$
Kẻ $HI\bot SA\Rightarrow HI\bot \left( SAB \right).$
$HJ\bot SM\Rightarrow HJ\bot \left( SBC \right)$
$\Rightarrow \left( \left( SAB \right),\left( SBC \right) \right)=\angle IHJ.$
+ Đặt $SH=x\Rightarrow HI=\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}};HJ=\dfrac{a\sqrt{3}a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}};SI=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}};SJ=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}.$
$\cos ASM=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}};I{{J}^{2}}=S{{I}^{2}}+S{{J}^{2}}-2SI.SJ.\cos ASM=\dfrac{4{{a}^{2}}{{x}^{4}}}{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\left( 3{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}$
$\sin \varphi =\sqrt{\dfrac{20}{21}}\Rightarrow \cos \varphi =\sqrt{\dfrac{1}{21}}.$
$\cos \varphi =\dfrac{H{{I}^{2}}+H{{J}^{2}}-I{{J}^{2}}}{2HI.HJ}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{21}}.\dfrac{ax}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}.\dfrac{a\sqrt{3}a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}=\dfrac{{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}+\dfrac{3{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}-\dfrac{4{{a}^{2}}{{x}^{4}}}{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\left( 3{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{7}}\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\sqrt{3{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=6{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{6}.$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}={{a}^{3}}\sqrt{2}.$