Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B,AB=3a,BC=4a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa $SC$ và đáy bằng...

Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot \left( ABC \right) \\
& SC\cap \left( ABC \right)=\left\{ C \right\} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( SC,\left( ABC \right) \right)=\widehat{SCA}={{60}^{0}}$
Gọi $N$ là trung điểm của $BC$ nên $AB//MN\subset \left( SMN \right)\Rightarrow AB//\left( SMN \right)$
$\Rightarrow d\left( AB;SM \right)=d\left( AB;\left( SMN \right) \right)=d\left( A;\left( SMN \right) \right)$
Từ $A$ dựng đường thẳng song song với $BC$ cắt $MN$ tại $D.$
Do $BC\bot AB\Rightarrow BC\bot MN\Rightarrow AD\bot MN.$
Từ $A$ dựng $AH\bot SD\left( H\in SD \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& MD\bot AD\subset \left( SAD \right) \\
& MD\bot SA\subset \left( SAD \right) \\
& AD\cap SA=\left\{ A \right\} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MD\bot \left( SAD \right)\supset AH\Rightarrow MD\bot AH.$
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SD\subset \left( SMD \right) \\
& AH\bot MD\subset \left( SMD \right) \\
& SD\cap MD=\left\{ D \right\} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SMD \right)\Rightarrow AH\bot \left( SMN \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SMN \right) \right)=AH.$
Xét tam giác $SAD,$ có
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( AC.\tan {{60}^{0}} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}+{{\left( 4a \right)}^{2}}}.\sqrt{3} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{4a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{79}{300{{a}^{2}}}.$
Vậy $d\left( AB,SM \right)=AH=\dfrac{10\sqrt{237}a}{79}.$