Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A, AC=a\sqrt{3}, \widehat{ABC}={{60}^{\circ }}.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Biết $SA=SB=SM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.$ Tính khoảng cách từ đỉnh $S$ đên mặt phẳng $\left( ABC \right).$
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
B. $d=a$.
C. $d=2a$.
D. $d=a\sqrt{3}$.
Xét $\Delta ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AM=\dfrac{1}{2}BC=BM.$
Suy ra $\Delta ABM$ cân tại $M$, lại có $\widehat{ABC}={{60}^{\circ }}$ nên $\Delta ABM$ là tam giác đều. Suy ra hình chóp $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều.
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$, $G$ là trọng tâm của $\Delta ABM$. Ta có: $MN=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow GM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
Vậy, xét $\Delta SGM$ vuông tại $G$ ta được $d=SG=\sqrt{S{{M}^{2}}-G{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=a.$
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
B. $d=a$.
C. $d=2a$.
D. $d=a\sqrt{3}$.
Suy ra $\Delta ABM$ cân tại $M$, lại có $\widehat{ABC}={{60}^{\circ }}$ nên $\Delta ABM$ là tam giác đều. Suy ra hình chóp $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều.
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$, $G$ là trọng tâm của $\Delta ABM$. Ta có: $MN=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow GM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
Vậy, xét $\Delta SGM$ vuông tại $G$ ta được $d=SG=\sqrt{S{{M}^{2}}-G{{M}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=a.$
Đáp án B.