Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S. ABC$ có đáy ABC là tam giác vuông tại $A,\angle ABC={{30}^{0}}.$ Tam giác SAB đều cạnh $a$ và hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $\left(ABC \right)$ là trung điểm của cạnh AB. Thể tích của khối chóp S. ABC là:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}18}{{}}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}18}{{}}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$
Phương pháp:
- Sử dụng công thức tính nhanh đường cao trong tam giác đều cạnh $a$ là $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ để tính chiều cao khối chóp.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài AC.
- Tính diện tích tam giác $ABC:{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB. AC.$
- Tính thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}Bh$ trong đó $B, h$ lần lượt là diện tích đáy và chiều cao khối chóp.
Cách giải:
Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow SH\bot \left(ABC \right).$
Tam giác SAB đều cạnh $a\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Xét tam giác vuông $ABC:AC=AB.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}. AB. AC=\dfrac{1}{2}. A.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}.$
Vậy ${{V}_{S. ABC}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}.$
- Sử dụng công thức tính nhanh đường cao trong tam giác đều cạnh $a$ là $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ để tính chiều cao khối chóp.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài AC.
- Tính diện tích tam giác $ABC:{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB. AC.$
- Tính thể tích khối chóp $V=\dfrac{1}{3}Bh$ trong đó $B, h$ lần lượt là diện tích đáy và chiều cao khối chóp.
Cách giải:
Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow SH\bot \left(ABC \right).$
Tam giác SAB đều cạnh $a\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Xét tam giác vuông $ABC:AC=AB.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}. AB. AC=\dfrac{1}{2}. A.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}.$
Vậy ${{V}_{S. ABC}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}.$
Đáp án D.