Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=2a$. Tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy hình chóp. Tính theo $a$ khoảng cách $d$ từ $B$ đến $\left( SAC \right)$
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
B. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
C. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $d=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $AC$
Tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A:$ $SE\bot BC$ ; $EF\bot AC$
Kẻ $ EG\bot SF \left( 1 \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& SE\bot BC \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow SE\bot \left( ABC \right)$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& AC\bot EF \\
& AC\bot SE \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AC\bot \left( SEF \right)\Rightarrow AC\bot EG \left( 2 \right)$
Từ $ \left( 1 \right)$ và $ \left( 2 \right)$ suy ra $ EG\bot \left( SAC \right)\Rightarrow d\left( E,\left( SAC \right) \right)=EG$
$E$ là trung điểm BC nên $ d\left( B,\left( SAC \right) \right)=2 d\left( E,\left( SAC \right) \right)=2EG$
Tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$ : $SE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.2a\sqrt{2}=a\sqrt{2}$.
Tam giác $ACE$ vuông cân tại $E$ : $EF=\dfrac{1}{2}AC=a$.
Trong tam giác vuông $SEF$, $EG$ là đường cao: $EG=\dfrac{SE.EF}{\sqrt{S{{E}^{2}}+E{{F}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}.a}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Vậy $ d\left( B,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}$.
A. $d=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
B. $d=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
C. $d=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
D. $d=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A:$ $SE\bot BC$ ; $EF\bot AC$
Kẻ $ EG\bot SF \left( 1 \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\bot \left( ABC \right) \\
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& SE\bot BC \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow SE\bot \left( ABC \right)$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& AC\bot EF \\
& AC\bot SE \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow AC\bot \left( SEF \right)\Rightarrow AC\bot EG \left( 2 \right)$
Từ $ \left( 1 \right)$ và $ \left( 2 \right)$ suy ra $ EG\bot \left( SAC \right)\Rightarrow d\left( E,\left( SAC \right) \right)=EG$
$E$ là trung điểm BC nên $ d\left( B,\left( SAC \right) \right)=2 d\left( E,\left( SAC \right) \right)=2EG$
Tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$ : $SE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.2a\sqrt{2}=a\sqrt{2}$.
Tam giác $ACE$ vuông cân tại $E$ : $EF=\dfrac{1}{2}AC=a$.
Trong tam giác vuông $SEF$, $EG$ là đường cao: $EG=\dfrac{SE.EF}{\sqrt{S{{E}^{2}}+E{{F}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}.a}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Vậy $ d\left( B,\left( SAC \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Đáp án D.