Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=BC=3a$, góc $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90{}^\circ $ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $a\sqrt{6}$. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ theo $a$.
A. $108\pi {{a}^{3}}$.
B. $36\pi {{a}^{3}}$.
C. $6\pi {{a}^{3}}$.
D. $36\pi {{a}^{2}}$.
Gọi $I,H$ lần lượt là trung điểm của cạnh $SB$ và $AC$
Mặt khác, theo giả thiết ta có $\Delta SAB,\Delta SCB$ lần lượt là các tam giác vuông tại $A$ và $C$ $\Rightarrow IA=IB=IC=IS$
$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
Mặt khác: $\Delta ABC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
$\Rightarrow IH\bot \left( ABC \right)$
Ta có: $\dfrac{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}{d\left( H;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{AC}{HC}=2\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $BC$ $\Rightarrow HK\bot BC\left( HK//AB,AB\bot BC \right)$
Lại có: $BC\bot IH\left( IH\bot \left( ABC \right) \right)\Rightarrow BC\bot \left( IHK \right)$
Mặt khác: $BC\subset \left( SBC \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( IHK \right)$ theo giao tuyến $IK$
Trong $\left( IHK \right)$, gọi $HP\bot IK\Rightarrow HP\bot \left( SBC \right)$ tại $P$ $\Rightarrow HP=d\left( H;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Xét $\Delta IHK:\dfrac{1}{H{{P}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}\Rightarrow HI=\dfrac{3\sqrt{2}a}{2}$
Xét $\Delta IHB:IB=\sqrt{I{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=3a=R$. Vậy $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=36\pi {{a}^{3}}$
A. $108\pi {{a}^{3}}$.
B. $36\pi {{a}^{3}}$.
C. $6\pi {{a}^{3}}$.
D. $36\pi {{a}^{2}}$.
Mặt khác, theo giả thiết ta có $\Delta SAB,\Delta SCB$ lần lượt là các tam giác vuông tại $A$ và $C$ $\Rightarrow IA=IB=IC=IS$
$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
Mặt khác: $\Delta ABC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
$\Rightarrow IH\bot \left( ABC \right)$
Ta có: $\dfrac{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}{d\left( H;\left( SBC \right) \right)}=\dfrac{AC}{HC}=2\Rightarrow d\left( H;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Gọi $K$ là trung điểm của cạnh $BC$ $\Rightarrow HK\bot BC\left( HK//AB,AB\bot BC \right)$
Lại có: $BC\bot IH\left( IH\bot \left( ABC \right) \right)\Rightarrow BC\bot \left( IHK \right)$
Mặt khác: $BC\subset \left( SBC \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( IHK \right)$ theo giao tuyến $IK$
Trong $\left( IHK \right)$, gọi $HP\bot IK\Rightarrow HP\bot \left( SBC \right)$ tại $P$ $\Rightarrow HP=d\left( H;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
Xét $\Delta IHK:\dfrac{1}{H{{P}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}\Rightarrow HI=\dfrac{3\sqrt{2}a}{2}$
Xét $\Delta IHB:IB=\sqrt{I{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=3a=R$. Vậy $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=36\pi {{a}^{3}}$
Đáp án B.