Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$. Tam giác $SAC$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $SA=a$. Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ theo $a$ ?
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Gọi $H$ và $M$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$.
Kẻ $HK\bot SM$ tại $K$
$\Delta SAC$ cân tại $S\Rightarrow SH\bot AC$ mà $\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$
$\Rightarrow SH\bot AB \left( 1 \right)$
$HM$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ $\Rightarrow HM//CB\Rightarrow HM\bot AB \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow AB\bot \left( SHM \right)$ $\Rightarrow AB\bot HK$ mà $HK\bot SM$ (theo cách dựng)
$\Rightarrow HK\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow d\left( H;\left( SAB \right) \right)=HK$
$\Delta SAC$ vuông cân tại $S$ $\Rightarrow AC=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow SH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Delta ABC$ vuông cân tại $B$ có $AC=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow BC=a$ $\Rightarrow HM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}$
$\Delta SHM$ vuông tại $H$ có $HK$ là đường cao
$\Rightarrow \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{6}{{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
Vì $H$ là trung điểm của $AC$ nên $d\left( C;\left( SAB \right) \right)=2d\left( H;\left( SAB \right) \right)=2HK=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Vậy $d\left( C;\left( SAB \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Kẻ $HK\bot SM$ tại $K$
$\Delta SAC$ cân tại $S\Rightarrow SH\bot AC$ mà $\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$
$\Rightarrow SH\bot AB \left( 1 \right)$
$HM$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ $\Rightarrow HM//CB\Rightarrow HM\bot AB \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow AB\bot \left( SHM \right)$ $\Rightarrow AB\bot HK$ mà $HK\bot SM$ (theo cách dựng)
$\Rightarrow HK\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow d\left( H;\left( SAB \right) \right)=HK$
$\Delta SAC$ vuông cân tại $S$ $\Rightarrow AC=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow SH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Delta ABC$ vuông cân tại $B$ có $AC=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow BC=a$ $\Rightarrow HM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}$
$\Delta SHM$ vuông tại $H$ có $HK$ là đường cao
$\Rightarrow \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{6}{{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$
Vì $H$ là trung điểm của $AC$ nên $d\left( C;\left( SAB \right) \right)=2d\left( H;\left( SAB \right) \right)=2HK=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Vậy $d\left( C;\left( SAB \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Đáp án B.