Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$...

Qua $A$ và $C$ lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với $AB$ và $BC$ nằm trong mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và cắt nhau tại $D$ $\Rightarrow$ Tứ giác $ABCD$ là hình vuông.
Ta có $\{\begin{array}{rl}& AB\mathrm{\perp }SA\\ & AB\mathrm{\perp }AD\end{array}\Rightarrow AB\mathrm{\perp }SD$ (1).
Ta lại có $\{\begin{array}{rl}& BC\mathrm{\perp }SC\\ & BC\mathrm{\perp }CD\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }SD$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $SD\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.
Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$. Do $\mathrm{\Delta }SAB=\mathrm{\Delta }SCB\Rightarrow MC\mathrm{\perp }SB$. Do đó góc giữa 2 mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(SBC\right)$ bằng hoạc bù với $\widehat{AMC}$.
Theo bài ra $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{9}{16}}=\left|{\displaystyle \frac{2M{A}^2-A{C}^2}{2M{A}^2}}\right|\iff [\begin{array}{rl}& M{A}^2={\displaystyle \frac{16a^2}{7}}\\ & M{A}^2={\displaystyle \frac{16a^2}{25}}\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{rl}& MA={\displaystyle \frac{4\sqrt{7}a}{7}}>a\left(loai\right)\\ & MA={\displaystyle \frac{4a}{5}}\end{array}$.
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ nên ta có
${\displaystyle \frac{1}{A{M}^2}}={\displaystyle \frac{1}{A{S}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{A{B}^2}}\iff {\displaystyle \frac{1}{A{M}^2}}={\displaystyle \frac{1}{S{D}^2+A{D}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{A{B}^2}}\iff {\displaystyle \frac{25}{16a^2}}={\displaystyle \frac{1}{S{D}^2+a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$ $\Rightarrow S{D}^2={\displaystyle \frac{7}{9}}{a}^2$ $\Rightarrow SD={\displaystyle \frac{a\sqrt{7}}{3}}$.
$V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}SD.{\displaystyle \frac{a^2}{2}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{7}{a}^3}{18}}$.