Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $BA=BC=a,\ SA\bot AB,\ SC\bot CB$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $\alpha $ thỏa mãn $\cos \alpha =\dfrac{9}{16}$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{18}$.
B. $\dfrac{\sqrt{7}{{a}^{3}}}{9}$.
C. $\dfrac{\sqrt{7}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{7}{{a}^{3}}}{18}$.
Qua $A$ và $C$ lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với $AB$ và $BC$ nằm trong mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và cắt nhau tại $D$ $\Rightarrow $ Tứ giác $ABCD$ là hình vuông.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SA \\
& AB\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot SD$ (1).
Ta lại có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SC \\
& BC\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot SD $ (2). Từ (1) và (2) suy ra $ SD\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$. Do $\Delta SAB=\Delta SCB\Rightarrow MC\bot SB$. Do đó góc giữa 2 mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ bằng hoạc bù với $\overset{\hat{\ }}{\mathop{AMC}} $.
Theo bài ra $\cos \alpha =\dfrac{9}{16}=\left| \dfrac{2M{{A}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2M{{A}^{2}}} \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& M{{A}^{2}}=\dfrac{16{{a}^{2}}}{7} \\
& M{{A}^{2}}=\dfrac{16{{a}^{2}}}{25} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& MA=\dfrac{4\sqrt{7}a}{7}>a\left( loai \right) \\
& MA=\dfrac{4a}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ nên ta có
$\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{D}^{2}}+A{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{25}{16{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{D}^{2}}+{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow S{{D}^{2}}=\dfrac{7}{9}{{a}^{2}}$ $\Rightarrow SD=\dfrac{a\sqrt{7}}{3}$.
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SD.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{a\sqrt{7}{{a}^{3}}}{18}$.
A. $\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{18}$.
B. $\dfrac{\sqrt{7}{{a}^{3}}}{9}$.
C. $\dfrac{\sqrt{7}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{7}{{a}^{3}}}{18}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot SA \\
& AB\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot SD$ (1).
Ta lại có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SC \\
& BC\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot SD $ (2). Từ (1) và (2) suy ra $ SD\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$. Do $\Delta SAB=\Delta SCB\Rightarrow MC\bot SB$. Do đó góc giữa 2 mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ bằng hoạc bù với $\overset{\hat{\ }}{\mathop{AMC}} $.
Theo bài ra $\cos \alpha =\dfrac{9}{16}=\left| \dfrac{2M{{A}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2M{{A}^{2}}} \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& M{{A}^{2}}=\dfrac{16{{a}^{2}}}{7} \\
& M{{A}^{2}}=\dfrac{16{{a}^{2}}}{25} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& MA=\dfrac{4\sqrt{7}a}{7}>a\left( loai \right) \\
& MA=\dfrac{4a}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ nên ta có
$\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{D}^{2}}+A{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{25}{16{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{D}^{2}}+{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow S{{D}^{2}}=\dfrac{7}{9}{{a}^{2}}$ $\Rightarrow SD=\dfrac{a\sqrt{7}}{3}$.
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SD.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{a\sqrt{7}{{a}^{3}}}{18}$.
Đáp án D.