Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $BC=a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy $\left( ABC \right).$ Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$ và $SC.$ Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKCB$ bằng
A. $\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{3}.$
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}.$
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{2}.$
Gọi $I$ trung điểm $AC$, khi đó ta có $IA=IB=IC=IK$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH \\
& AH\bot SB\subset \left( SBC \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot HC\Rightarrow \Delta AHC $ vuông tại $ H$.
Suy ra $IH=IA=IC$.
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKCB$ là điểm $I\Rightarrow R=IB=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKCB$ bằng $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi \dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}=\dfrac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{2}}{3}$.
A. $\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{3}.$
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}.$
D. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{2}.$
Gọi $I$ trung điểm $AC$, khi đó ta có $IA=IB=IC=IK$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH \\
& AH\bot SB\subset \left( SBC \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot HC\Rightarrow \Delta AHC $ vuông tại $ H$.
Suy ra $IH=IA=IC$.
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKCB$ là điểm $I\Rightarrow R=IB=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $A.HKCB$ bằng $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi \dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}=\dfrac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{2}}{3}$.
Đáp án B.