Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $BA=BC=5a,SA\bot AB$ và $SC\bot CB.$ Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ là $\alpha $ thỏa $\cos \alpha =\dfrac{9}{16}.$ Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là
A. $\dfrac{50{{a}^{3}}}{3}.$
B. $\dfrac{125\sqrt{7}{{a}^{3}}}{18}.$
C. $\dfrac{50{{a}^{3}}}{9}.$
D. $\dfrac{125\sqrt{7}{{a}^{3}}}{9}.$
Theo giả thiết $SA\bot AB$ và $SC\bot CB$ nên các tam giác $\Delta SAB$ và $\Delta SBC$ là vuông có cạnh huyền $SB$ chung, lại có $BA=BC$ nên ta có $\Delta SAB=\Delta SCB.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ suy ra $H$ cũng chính là hình chiếu của $C$ lên $SB$ (do $\Delta SAB=\Delta SCB$ nên chân đường cao hạ từ $A,C$ đến cạnh huyền $SB$ phải trùng nhau) từ đây ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& CH\bot SB \\
\end{aligned} \right. $ do vậy góc giữa hai mặt phẳng $ \left( SAB \right) $ và $ \left( SBC \right) $ là góc $ \widehat{AHC} $ hoặc $ {{180}^{0}}-\widehat{AHC}.$
Ta có $\widehat{AHC}$ là góc phẳng nhị diện $\left[ A,SB,C \right]$ và góc $\widehat{ABC}={{90}^{0}}$ nên suy ra góc $\widehat{AHC}>{{90}^{0}}$ vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ là góc ${{180}^{0}}-\widehat{AHC},$ do đó $\cos \widehat{AHC}=-\dfrac{9}{16}$
Đặt $AH=x,$ áp dụng định lý cosin trong tam giác $ACH$ ta có
$A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}-2AH.CH.\cos \widehat{AHC}$
$\Leftrightarrow 50{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}.\dfrac{9}{16}\Leftrightarrow \dfrac{2.25}{16}{{x}^{2}}=50{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=4a$ suy ra $AH=4a.$
Xét tam giác vuông $\Delta SAB$ ta có $\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{25{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{16{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SA=\dfrac{20a}{3}.$
Do đó $SB=\dfrac{25a}{3}$ và diện tích tam giác $SAB$ bằng ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}AB.SA=\dfrac{50{{a}^{2}}}{3}.$
Áp dụng công thức thể tích tứ diện ${{V}_{SABC}}=\dfrac{2{{S}_{SAB}}.{{S}_{SBC}}.\sin \alpha }{3.SB}=\dfrac{125{{a}^{3}}\sqrt{7}}{18}$.
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{125{{a}^{3}}\sqrt{7}}{18}.$
A. $\dfrac{50{{a}^{3}}}{3}.$
B. $\dfrac{125\sqrt{7}{{a}^{3}}}{18}.$
C. $\dfrac{50{{a}^{3}}}{9}.$
D. $\dfrac{125\sqrt{7}{{a}^{3}}}{9}.$
Theo giả thiết $SA\bot AB$ và $SC\bot CB$ nên các tam giác $\Delta SAB$ và $\Delta SBC$ là vuông có cạnh huyền $SB$ chung, lại có $BA=BC$ nên ta có $\Delta SAB=\Delta SCB.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ suy ra $H$ cũng chính là hình chiếu của $C$ lên $SB$ (do $\Delta SAB=\Delta SCB$ nên chân đường cao hạ từ $A,C$ đến cạnh huyền $SB$ phải trùng nhau) từ đây ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot SB \\
& CH\bot SB \\
\end{aligned} \right. $ do vậy góc giữa hai mặt phẳng $ \left( SAB \right) $ và $ \left( SBC \right) $ là góc $ \widehat{AHC} $ hoặc $ {{180}^{0}}-\widehat{AHC}.$
Ta có $\widehat{AHC}$ là góc phẳng nhị diện $\left[ A,SB,C \right]$ và góc $\widehat{ABC}={{90}^{0}}$ nên suy ra góc $\widehat{AHC}>{{90}^{0}}$ vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ là góc ${{180}^{0}}-\widehat{AHC},$ do đó $\cos \widehat{AHC}=-\dfrac{9}{16}$
Đặt $AH=x,$ áp dụng định lý cosin trong tam giác $ACH$ ta có
$A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}-2AH.CH.\cos \widehat{AHC}$
$\Leftrightarrow 50{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}.\dfrac{9}{16}\Leftrightarrow \dfrac{2.25}{16}{{x}^{2}}=50{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=4a$ suy ra $AH=4a.$
Xét tam giác vuông $\Delta SAB$ ta có $\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{25{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{16{{a}^{2}}}\Leftrightarrow SA=\dfrac{20a}{3}.$
Do đó $SB=\dfrac{25a}{3}$ và diện tích tam giác $SAB$ bằng ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}AB.SA=\dfrac{50{{a}^{2}}}{3}.$
Áp dụng công thức thể tích tứ diện ${{V}_{SABC}}=\dfrac{2{{S}_{SAB}}.{{S}_{SBC}}.\sin \alpha }{3.SB}=\dfrac{125{{a}^{3}}\sqrt{7}}{18}$.
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{125{{a}^{3}}\sqrt{7}}{18}.$
Đáp án B.