Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại $B$ có $AC=2a.$ Cạnh $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2a.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A,$ vuông góc với cạnh $SB$ tại $K$ và cắt cạnh $SC$ tại $H.$ Gọi ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$ lần lượt là thể tích của khối tứ diện $SAHK$ và khối đa dienj $ABCHK.$ Tỉ số $\dfrac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}$ bằng
A. $\dfrac{4}{5}.$
B. $\dfrac{2}{3}$
C. $\dfrac{4}{9}.$
D. $\dfrac{5}{4}.$
Từ $A$ kẻ đường thẳng vuông góc $SB,$ cắt $SB$ tại $K.$
Từ $K$ kẻ đường thẳng vuông góc với $SB$ cắt $SC$ tại $H.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SA \\
& BC\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CB\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB, $ suy ra $ BC//HK.$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB=BC=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAB$ ta có:
$S{{A}^{2}}=SK.SB\Leftrightarrow \dfrac{SK}{SB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{A{{B}^{2}}+A{{S}^{2}}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{2{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=\dfrac{2}{3}.$
Vì $BC//HK$ nên $\dfrac{SH}{SC}=\dfrac{SK}{SB}=\dfrac{2}{3}.$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SK}{SB}.\dfrac{SH}{SC}=1.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{S.ABC}}\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{5}{9}{{V}_{S.ABC}}.$
Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{4}{5}.$
A. $\dfrac{4}{5}.$
B. $\dfrac{2}{3}$
C. $\dfrac{4}{9}.$
D. $\dfrac{5}{4}.$
Từ $A$ kẻ đường thẳng vuông góc $SB,$ cắt $SB$ tại $K.$
Từ $K$ kẻ đường thẳng vuông góc với $SB$ cắt $SC$ tại $H.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SA \\
& BC\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CB\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB, $ suy ra $ BC//HK.$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB=BC=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAB$ ta có:
$S{{A}^{2}}=SK.SB\Leftrightarrow \dfrac{SK}{SB}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{A{{B}^{2}}+A{{S}^{2}}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{2{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=\dfrac{2}{3}.$
Vì $BC//HK$ nên $\dfrac{SH}{SC}=\dfrac{SK}{SB}=\dfrac{2}{3}.$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SK}{SB}.\dfrac{SH}{SC}=1.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{S.ABC}}\Rightarrow {{V}_{2}}=\dfrac{5}{9}{{V}_{S.ABC}}.$
Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{4}{5}.$
Đáp án A.