Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại $B$ có $A C = 2 a .$ Cạnh $S A$ vuông góc với đáy và $S A = 2 a .$ Mặt phẳng $(P)$ đi...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

B

có

A C = 2 a .

Cạnh

S A

vuông góc với đáy và

S A = 2 a .

Mặt phẳng

(P)

đi qua

A,

vuông góc với cạnh

S B

tại

K

và cắt cạnh

S C

tại

H .

Gọi

V_{1}, V_{2}

lần lượt là thể tích của khối tứ diện

S A H K

và khối đa dienj

A B C H K .

Tỉ số

\frac{V_{2}}{V_{1}}

bằng
A.

\frac{4}{5} .

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{4}{9} .

D.

\frac{5}{4} .

Từ

A

kẻ đường thẳng vuông góc

S B,

cắt

S B

tại

K .

Từ

K

kẻ đường thẳng vuông góc với

S B

cắt

S C

tại

H .

Ta có:

{\begin{aligned} B C ⊥ S A \\ B C ⊥ A B \end{aligned} \Rightarrow C B ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B,

suy ra

B C / / H K .

Tam giác

A B C

vuông cân tại

B

nên

A B = B C = \frac{A C}{\sqrt{2}} = a \sqrt{2} .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

S A B

ta có:

S A^{2} = S K . S B \Leftrightarrow \frac{S K}{S B} = \frac{S A^{2}}{S B^{2}} = \frac{S A^{2}}{A B^{2} + A S^{2}} = \frac{4 a^{2}}{2 a^{2} + 4 a^{2}} = \frac{2}{3} .

Vì

B C / / H K

nên

\frac{S H}{S C} = \frac{S K}{S B} = \frac{2}{3} .

Ta có:

\frac{V_{1}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S K}{S B} . \frac{S H}{S C} = 1. \frac{2}{3} . \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \Rightarrow V_{1} = \frac{4}{9} V_{S . A B C} \Rightarrow V_{2} = \frac{5}{9} V_{S . A B C} .

Vậy

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{4}{5} .

Đáp án A.

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AC=2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA=2a. Mặt phẳng (P) đi...