Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại B, $AB=BC=3a$, góc $\mathrm{\angle }SAB=\mathrm{\angle }SCB={90}^0$ và khoảng cách từ A đến mặt...

Phương pháp giải:
Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của $SB$.
Vì $\mathrm{\angle }SAB=\mathrm{\angle }SCB={90}^0$ nên $IS=IA=IB=IC$, do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$, bán kính $R=IS={\displaystyle \frac{1}{2}}SB$.
Xét ${\mathrm{\Delta }}_{v}SAB$ và ${\mathrm{\Delta }}_{v}SCB$ có $AB=CB\left(gt\right),SB$ chung $\Rightarrow {\mathrm{\Delta }}_{v}SAB={\mathrm{\Delta }}_{v}SCB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
$\Rightarrow SA=S\Rightarrow \mathrm{\Delta }SAC$ cân tại S.
Gọi M là trung điểm của AC ta có $\{\begin{array}{l}SM\mathrm{\perp }AC\\ BM\mathrm{\perp }AC\end{array}\Rightarrow AC\mathrm{\perp }\left(SBM\right)$.
Trong $\left(SBM\right)$ kẻ $SH\mathrm{\perp }BM$ ta có: $\{\begin{array}{l}SH\mathrm{\perp }BM\\ SH\mathrm{\perp }AC\left(AC\mathrm{\perp }\left(SBM\right)\right)\end{array}\Rightarrow SH\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$.
Đặt $SA=SC=x$.
Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông cân tại B nên $AC=AB\sqrt{2}=3a\sqrt{2}\Rightarrow BM=AM=MC={\displaystyle \frac{3a\sqrt{2}}{2}}$.
Áp dụng định lí Pytago ta có:
$SM=\sqrt{S{C}^2-M{C}^2}=\sqrt{x^2-{\displaystyle \frac{9a^2}{2}}}$
$SB=\sqrt{B{C}^2+S{C}^2}=\sqrt{9a^2+x^2}$.
Gọi p là nửa chu vi tam giác $SBM$ ta có $p={\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-{\displaystyle \frac{9a^2}{2}}}+\sqrt{9a^2+x^2}+{\displaystyle \frac{9a^2}{2}}}{2}}$.
Diện tích tam giác $SBM$ là: $S_{SBM}=\sqrt{p(p-SM)(p-SB)(p-BM)}$
Khi đó ta có $SH={\displaystyle \frac{2S_{\mathrm{\Delta }SBM}}{BM}}$.
Ta có:
$V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}SH.S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}d(A;\left(SBC\right)).S_{\mathrm{\Delta }SBC}$
$\Rightarrow SH.S_{\mathrm{\Delta }ABC}=d(A;\left(SBC\right)).S_{\mathrm{\Delta }SBC}$
$\iff {\displaystyle \frac{2S_{\mathrm{\Delta }SBM}}{BM}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}.3a.3a=a\sqrt{6}.{\displaystyle \frac{1}{2}}.3a.x\iff x=3\sqrt{3}a$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $SB=\sqrt{S{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{27a^2+9a^2}=6a\Rightarrow R=IS=3a$.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ là $S=4\pi R^2=4\pi .9a^2=36\pi a^2$.