Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại B, $AB=BC=3a$, góc $\angle SAB=\angle SCB={{90}^{0}}$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $a\sqrt{6}$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
A. $36\pi {{a}^{2}}$
B. $6\pi {{a}^{2}}$
C. $18\pi {{a}^{2}}$
D. $48\pi {{a}^{2}}$
A. $36\pi {{a}^{2}}$
B. $6\pi {{a}^{2}}$
C. $18\pi {{a}^{2}}$
D. $48\pi {{a}^{2}}$
Phương pháp giải:
Giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của $SB$.
Vì $\angle SAB=\angle SCB={{90}^{0}}$ nên $IS=IA=IB=IC$, do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$, bán kính $R=IS=\dfrac{1}{2}SB$.
Xét ${{\Delta }_{v}}SAB$ và ${{\Delta }_{v}}SCB$ có $AB=CB\left( gt \right),SB$ chung $\Rightarrow {{\Delta }_{v}}SAB={{\Delta }_{v}}SCB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
$\Rightarrow SA=S\Rightarrow \Delta SAC$ cân tại S.
Gọi M là trung điểm của AC ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
SM\bot AC \\
BM\bot AC \\
\end{array} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SBM \right)$.
Trong $\left( SBM \right)$ kẻ $SH\bot BM$ ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
SH\bot BM \\
SH\bot AC\left( AC\bot \left( SBM \right) \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$.
Đặt $SA=SC=x$.
Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại B nên $AC=AB\sqrt{2}=3a\sqrt{2}\Rightarrow BM=AM=MC=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$.
Áp dụng định lí Pytago ta có:
$SM=\sqrt{S{{C}^{2}}-M{{C}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-\dfrac{9{{a}^{2}}}{2}}$
$SB=\sqrt{B{{C}^{2}}+S{{C}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$.
Gọi p là nửa chu vi tam giác $SBM$ ta có $p=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-\dfrac{9{{a}^{2}}}{2}}+\sqrt{9{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}+\dfrac{9{{a}^{2}}}{2}}{2}$.
Diện tích tam giác $SBM$ là: ${{S}_{SBM}}=\sqrt{p\left( p-SM \right)\left( p-SB \right)\left( p-BM \right)}$
Khi đó ta có $SH=\dfrac{2{{S}_{\Delta SBM}}}{BM}$.
Ta có:
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( SBC \right) \right).{{S}_{\Delta SBC}}$
$\Rightarrow SH.{{S}_{\Delta ABC}}=d\left( A;\left( SBC \right) \right).{{S}_{\Delta SBC}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2{{S}_{\Delta SBM}}}{BM}.\dfrac{1}{2}.3a.3a=a\sqrt{6}.\dfrac{1}{2}.3a.x\Leftrightarrow x=3\sqrt{3}a$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $SB=\sqrt{S{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{27{{a}^{2}}+9{{a}^{2}}}=6a\Rightarrow R=IS=3a$.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .9{{a}^{2}}=36\pi {{a}^{2}}$.
Giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của $SB$.
Vì $\angle SAB=\angle SCB={{90}^{0}}$ nên $IS=IA=IB=IC$, do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$, bán kính $R=IS=\dfrac{1}{2}SB$.
Xét ${{\Delta }_{v}}SAB$ và ${{\Delta }_{v}}SCB$ có $AB=CB\left( gt \right),SB$ chung $\Rightarrow {{\Delta }_{v}}SAB={{\Delta }_{v}}SCB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
$\Rightarrow SA=S\Rightarrow \Delta SAC$ cân tại S.
Gọi M là trung điểm của AC ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
SM\bot AC \\
BM\bot AC \\
\end{array} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SBM \right)$.
Trong $\left( SBM \right)$ kẻ $SH\bot BM$ ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
SH\bot BM \\
SH\bot AC\left( AC\bot \left( SBM \right) \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$.
Đặt $SA=SC=x$.
Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại B nên $AC=AB\sqrt{2}=3a\sqrt{2}\Rightarrow BM=AM=MC=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$.
Áp dụng định lí Pytago ta có:
$SM=\sqrt{S{{C}^{2}}-M{{C}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-\dfrac{9{{a}^{2}}}{2}}$
$SB=\sqrt{B{{C}^{2}}+S{{C}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}$.
Gọi p là nửa chu vi tam giác $SBM$ ta có $p=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-\dfrac{9{{a}^{2}}}{2}}+\sqrt{9{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}+\dfrac{9{{a}^{2}}}{2}}{2}$.
Diện tích tam giác $SBM$ là: ${{S}_{SBM}}=\sqrt{p\left( p-SM \right)\left( p-SB \right)\left( p-BM \right)}$
Khi đó ta có $SH=\dfrac{2{{S}_{\Delta SBM}}}{BM}$.
Ta có:
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( SBC \right) \right).{{S}_{\Delta SBC}}$
$\Rightarrow SH.{{S}_{\Delta ABC}}=d\left( A;\left( SBC \right) \right).{{S}_{\Delta SBC}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{2{{S}_{\Delta SBM}}}{BM}.\dfrac{1}{2}.3a.3a=a\sqrt{6}.\dfrac{1}{2}.3a.x\Leftrightarrow x=3\sqrt{3}a$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $SB=\sqrt{S{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{27{{a}^{2}}+9{{a}^{2}}}=6a\Rightarrow R=IS=3a$.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .9{{a}^{2}}=36\pi {{a}^{2}}$.
Đáp án A.