Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC=2a$ và $M$ là trung điểm của đoạn $BC$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$, $AM$ bằng $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{5}}{9}$.
Gọi $D$ là điểm đối xứng của điểm $C$ qua điểm $A$ suy ra $AM\text{//}BD$ và $AM\text{//}\left( SBC \right)$. Do đó $d\left( AM,SB \right)=d\left( AM,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)$.
Gọi $K$, $H$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$, $H$ lên $BD$ và $SK$, từ đó chứng minh được $AH=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Từ giả thiết và cách dựng ta được $AB=\dfrac{1}{2}CD$ $\Rightarrow \Delta DBC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow AK\text{//}BC$ và ta được $AK=a$.
Từ hệ thức lượng cho tam giác vuông $SAK$ có đường cao $AH$ ta được $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}$.
Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}A{{B}^{2}}=\dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{BC}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{2a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}={{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SA$ $=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$.
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{5}}{9}$.
Gọi $K$, $H$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$, $H$ lên $BD$ và $SK$, từ đó chứng minh được $AH=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Từ giả thiết và cách dựng ta được $AB=\dfrac{1}{2}CD$ $\Rightarrow \Delta DBC$ vuông tại $B$ $\Rightarrow AK\text{//}BC$ và ta được $AK=a$.
Từ hệ thức lượng cho tam giác vuông $SAK$ có đường cao $AH$ ta được $\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{3}{2{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}$.
Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}A{{B}^{2}}=\dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{BC}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}{{\left( \dfrac{2a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}={{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SA$ $=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.a\sqrt{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án A.