Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$...

Gọi $O_{\text{1}}$, $O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC$ và $SAB$
Qua $O_{\text{1}}$ dựng đường thẳng $d_{\text{1}}$ vuông góc với $\left(ABC\right)$ thì $d_{\text{1}}$ là trục của tam giác $ABC$ và $d_{\text{1}}//O_{2}H$
Qua $O_2$ dựng đường thẳng $d_2$ vuông góc với $\left(SAB\right)$ thì $d_2$ là trục của tam giác $SAB$ và $d_2//O_{1}H$
Từ đó suy ra tâm $I$ mặt cầu là giao điểm của $d_{\text{1}}$ và $d_2$
Ta có tứ giác $H{O}_{1}I{O}_2$ là hình chữ nhật, suy ra $I{H}^2=O{}_1{H}^2+O{}_2{H}^2$
Gọi $R_{\text{1}}$, $R_2$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $ABC$ và $SAB$
Ta có $\{\begin{array}{rl}& O{}_1{H}^2=R_1^2-{\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}\\ & O{}_2{H}^2=R_2^2-{\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}\end{array}\Rightarrow I{H}^2=R_1^2+R_2^2-{\displaystyle \frac{A{B}^2}{2}}$
Bán kính tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là
$R^2=I{H}^2+H{A}^2=R_1^2+R_2^2-{\displaystyle \frac{A{B}^2}{2}}+{\left({\displaystyle \frac{AB}{2}}\right)}^2=R_1^2+R_2^2-{\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}\Rightarrow R=\sqrt{R_1^2+R_2^2-{\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}}$
Thay số vào ta được $R=\sqrt{R_1^2+R_2^2-{\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^2+{({\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{1^2}{4}}}=$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{6}}\cdot$