Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$. Mặt bên $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ và tam giác $\Delta SAB$ đều cạnh bằng $1$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}\cdot $
B. $\dfrac{\sqrt{21}}{6}\cdot $
C. $\dfrac{\sqrt{15}}{6}\cdot $
D. $\dfrac{3\sqrt{21}}{2}\cdot $
Gọi ${{O}_{\text{1}}}$, ${{O}_{2}}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC$ và $SAB$
Qua ${{O}_{\text{1}}}$ dựng đường thẳng ${{d}_{\text{1}}}$ vuông góc với $\left( ABC \right)$ thì ${{d}_{\text{1}}}$ là trục của tam giác $ABC$ và ${{d}_{\text{1}}}//{{O}_{2}}H$
Qua ${{O}_{2}}$ dựng đường thẳng ${{d}_{2}}$ vuông góc với $\left( SAB \right)$ thì ${{d}_{2}}$ là trục của tam giác $SAB$ và ${{d}_{2}}//{{O}_{1}}H$
Từ đó suy ra tâm $I$ mặt cầu là giao điểm của ${{d}_{\text{1}}}$ và ${{d}_{2}}$
Ta có tứ giác $H{{O}_{1}}I{{O}_{2}}$ là hình chữ nhật, suy ra $I{{H}^{2}}=O{}_{1}{{H}^{2}}+O{}_{2}{{H}^{2}}$
Gọi ${{R}_{\text{1}}}$, ${{R}_{2}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $ABC$ và $SAB$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& O{}_{1}{{H}^{2}}=R_{1}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4} \\
& O{}_{2}{{H}^{2}}=R_{2}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I{{H}^{2}}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}$
Bán kính tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là
${{R}^{2}}=I{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}+{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}\Rightarrow R=\sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}$
Thay số vào ta được $R=\sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{{{1}^{2}}}{4}}=$ $\dfrac{\sqrt{21}}{6}\cdot $
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}\cdot $
B. $\dfrac{\sqrt{21}}{6}\cdot $
C. $\dfrac{\sqrt{15}}{6}\cdot $
D. $\dfrac{3\sqrt{21}}{2}\cdot $
Qua ${{O}_{\text{1}}}$ dựng đường thẳng ${{d}_{\text{1}}}$ vuông góc với $\left( ABC \right)$ thì ${{d}_{\text{1}}}$ là trục của tam giác $ABC$ và ${{d}_{\text{1}}}//{{O}_{2}}H$
Qua ${{O}_{2}}$ dựng đường thẳng ${{d}_{2}}$ vuông góc với $\left( SAB \right)$ thì ${{d}_{2}}$ là trục của tam giác $SAB$ và ${{d}_{2}}//{{O}_{1}}H$
Từ đó suy ra tâm $I$ mặt cầu là giao điểm của ${{d}_{\text{1}}}$ và ${{d}_{2}}$
Ta có tứ giác $H{{O}_{1}}I{{O}_{2}}$ là hình chữ nhật, suy ra $I{{H}^{2}}=O{}_{1}{{H}^{2}}+O{}_{2}{{H}^{2}}$
Gọi ${{R}_{\text{1}}}$, ${{R}_{2}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $ABC$ và $SAB$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& O{}_{1}{{H}^{2}}=R_{1}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4} \\
& O{}_{2}{{H}^{2}}=R_{2}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I{{H}^{2}}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}$
Bán kính tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là
${{R}^{2}}=I{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}+{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}\Rightarrow R=\sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}$
Thay số vào ta được $R=\sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{{{1}^{2}}}{4}}=$ $\dfrac{\sqrt{21}}{6}\cdot $
Đáp án B.