T

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình...

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAB) tạo với (SBC) một góc 600​ và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc thỏa mãn $\cos \varphi =\dfrac{\sqrt{2}}{4}$. Gọi là góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\dfrac{1}{2}$
D. $\sqrt{3}$
Phương pháp:
Gắn hệ trục tọa độ, sử dụng các công thức góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng rồi tính toán.
Cách giải:
1667381078151.png

Gọi O là trung điểm của BC, qua O kẻ tia Oz cắt SC tại M .
Gắn hệ trục tạo độ như hình vẽ, ở đó O(0; 0; 0 ), A(1; 0; 0), C(0; 1; 0 ), B(0; -1; 0 ), S(0; m; n )
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -1;-1;0 \right), \overrightarrow{AC}=\left( -1;1;0 \right), \overrightarrow{AS}=\left( -1;m;n \right)$
Mặt phẳng (SBC) : x = 0 có VTPT $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$
Mặt phẳng (SAC) có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS} \right]=\left( n;n;-m+1 \right)$
Mặt phẳng (SAB) có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AS} \right]=\left( -n;n;-m-1 \right)$
$\begin{aligned}
& cos{{60}^{0}}=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}=\dfrac{\left| -n \right|}{\sqrt{2{{n}^{2}}+{{\left( -m-1 \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{\left| -n \right|}{\sqrt{2{{n}^{2}}+{{\left( -m-1 \right)}^{2}}}} \\
& \Leftrightarrow 4{{n}^{2}}=2{{n}^{2}}+{{\left( -m-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2{{n}^{2}}={{\left( -m-1 \right)}^{2}} (1) \\
& cos\varphi =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{i} \right|}=\dfrac{\left| n \right|}{\sqrt{2{{n}^{2}}+{{\left( -m+1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\Leftrightarrow 4\left| n \right|=\sqrt{4{{n}^{2}}+2{{\left( 1-m \right)}^{2}}}\Leftrightarrow 6{{n}^{2}}={{\left( 1-m \right)}^{2}} (2) \\
\end{aligned}$
Từ (1) và (2) suy ra $3{{\left( m+1 \right)}^{2}}={{\left( 1-m \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-2+\sqrt{3} \\
& m=-2-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=\sqrt{2-\sqrt{3}} \\
& n=\sqrt{2+\sqrt{3}} \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& S\left( 0;-2+\sqrt{3};\sqrt{2-\sqrt{3}} \right) \\
& S\left( 0;-2-\sqrt{3};\sqrt{2+\sqrt{3}} \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& H\left( 0;-2+\sqrt{3};0 \right) \\
& H\left( 0;-2-\sqrt{3};0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& SH=\sqrt{2-\sqrt{3}}, AH=\sqrt{1+{{\left( -2+\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2\sqrt{2-\sqrt{3}} \\
& SH=\sqrt{2+\sqrt{3}}, AH=\sqrt{1+{{\left( -2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2\sqrt{2+\sqrt{3}} \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{SH}{AH}=\dfrac{1}{2}. \\
\end{aligned}$
Đáp án C.
 

Quảng cáo

Back
Top