Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=AC=2a,$ hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $AB.$ Biết $SH=a,$ khoảng cách giữa 2 đường thẳng $SA$ và $BC$ là
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
B. $\dfrac{2a}{\sqrt{3}}.$
C. $\dfrac{4a}{\sqrt{3}}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Dựng hình bình hành $ACBE.$
Ta có $BC//AE\Rightarrow BC//\left( SAE \right)\Rightarrow d\left( BC,SA \right)=d\left( BC,\left( SAE \right) \right)=2d\left( H,\left( SAE \right) \right).$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AE,AM,K$ là hình chiếu của $H$ trên $SN.$
$\Delta ABE$ vuông cân tại $B\Rightarrow BM\bot AE\Rightarrow HN\bot AE.$ Mà $SH\bot AE\Rightarrow HK\bot AE.$
Mặt khác $HK\bot SN\Rightarrow HK\bot \left( SAE \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SAE \right) \right)=HK.$
Ta có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{a}{\sqrt{3}}.$ Do đó $d\left( BC,SA \right)=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
B. $\dfrac{2a}{\sqrt{3}}.$
C. $\dfrac{4a}{\sqrt{3}}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Dựng hình bình hành $ACBE.$
Ta có $BC//AE\Rightarrow BC//\left( SAE \right)\Rightarrow d\left( BC,SA \right)=d\left( BC,\left( SAE \right) \right)=2d\left( H,\left( SAE \right) \right).$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AE,AM,K$ là hình chiếu của $H$ trên $SN.$
$\Delta ABE$ vuông cân tại $B\Rightarrow BM\bot AE\Rightarrow HN\bot AE.$ Mà $SH\bot AE\Rightarrow HK\bot AE.$
Mặt khác $HK\bot SN\Rightarrow HK\bot \left( SAE \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SAE \right) \right)=HK.$
Ta có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{3}{{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{a}{\sqrt{3}}.$ Do đó $d\left( BC,SA \right)=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}.$
Đáp án B.