Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân đỉnh $A,$ $AB=a\sqrt{2}.$ Gọi $I$ là trung điểm của $BC,$ hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm $H$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IH},$ góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{\circ }}.$ Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{12}$.
+ Hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $CH$ $\Rightarrow $ góc giữa $SC$ với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{SCH}$. Theo giải thiết thì $\widehat{SCH}=60{}^\circ $.
+ Xét tam giác vuông $ABC$ có $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=2a$ và $AI=\dfrac{BC}{2}=a$ ;
+ Theo bài ra $\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IH}$ $\Rightarrow $ $IH=\dfrac{1}{2}AI=\dfrac{a}{2}$.
+ Xét tam giác vuông $CIH$ ta có: $CH=\sqrt{I{{H}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$ ;
+ Tam giác vuông $SCH$ có $SH=CH.\tan {{60}^{o}}$ $=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$.
+ Diện tích tam giác $ABC$ : ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}. a\sqrt{2}={{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{12}$.
+ Hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $CH$ $\Rightarrow $ góc giữa $SC$ với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{SCH}$. Theo giải thiết thì $\widehat{SCH}=60{}^\circ $.
+ Xét tam giác vuông $ABC$ có $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=2a$ và $AI=\dfrac{BC}{2}=a$ ;
+ Theo bài ra $\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IH}$ $\Rightarrow $ $IH=\dfrac{1}{2}AI=\dfrac{a}{2}$.
+ Xét tam giác vuông $CIH$ ta có: $CH=\sqrt{I{{H}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$ ;
+ Tam giác vuông $SCH$ có $SH=CH.\tan {{60}^{o}}$ $=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$.
+ Diện tích tam giác $ABC$ : ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}. a\sqrt{2}={{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
Đáp án C.