Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân, $AB=BC=2a.$ Tam giác $SAC$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $\left( ABC \right),SA=\sqrt{3}a.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAC \right)$ bằng:
A. ${{60}^{0}}$
B. ${{30}^{0}}$
C. ${{45}^{0}}$
D. ${{90}^{0}}$
A. ${{60}^{0}}$
B. ${{30}^{0}}$
C. ${{45}^{0}}$
D. ${{90}^{0}}$
Phương pháp:
- Gọi $H$ là trung điểm của $AC,$ chứng minh $SH\bot \left( SAC \right),BH\bot \left( SAC \right).$
- Trong $\left( SAB \right)$ kẻ $BI\bot SA$, chứng minh $\angle \left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)=\angle \left( BH;HI \right)$.
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượnggiác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
Cách giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $AC$ ta có $SH\bot AC$ (do tam giác $SAC$ cân tại $S$ ).
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)=AC \\
& AH\subset \left( SAC \right),AH\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( ABC \right). $ Tương tự $ BH\bot \left( SAC \right)$
Trong $\left( SAB \right)$ kẻ $BI\bot SA$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot BI \\
& SA\bot BI\left( do\text{ BH}\bot \left( SAC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( BHI \right)\Rightarrow SA\bot HI$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SA \\
& BI\subset \left( SAB \right),BI\bot SA \\
& HI\subset \left( SAC \right),HI\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)=\angle \left( BI;HI \right).$
Vì $BH\bot \left( SAC \right)\left( cmt \right)\Rightarrow BH\bot HI\Rightarrow \Delta BHI$ vuông tại $I.$
Do đó $\angle \left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)=\angle \left( BH;HI \right)=\angle BHI$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có $AB=BC=2a$ nên $BH=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2},AC=AB\sqrt{2}=2\sqrt{2}a.$
Ta có: $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a.$
$\Rightarrow HI=\dfrac{SH.AH}{SA}=\dfrac{a.\sqrt{2}a}{\sqrt{3}a}=\dfrac{\sqrt{6}a}{3}.$
Xét tam giác vuông $BHI$ có $\tan \angle BIH=\dfrac{BH}{IH}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{6}a}{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow \angle BIH={{60}^{0}}$
Vậy $\angle \left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)={{60}^{0}}.$
- Gọi $H$ là trung điểm của $AC,$ chứng minh $SH\bot \left( SAC \right),BH\bot \left( SAC \right).$
- Trong $\left( SAB \right)$ kẻ $BI\bot SA$, chứng minh $\angle \left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)=\angle \left( BH;HI \right)$.
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượnggiác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
Cách giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $AC$ ta có $SH\bot AC$ (do tam giác $SAC$ cân tại $S$ ).
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)=AC \\
& AH\subset \left( SAC \right),AH\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( ABC \right). $ Tương tự $ BH\bot \left( SAC \right)$
Trong $\left( SAB \right)$ kẻ $BI\bot SA$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot BI \\
& SA\bot BI\left( do\text{ BH}\bot \left( SAC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( BHI \right)\Rightarrow SA\bot HI$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SA \\
& BI\subset \left( SAB \right),BI\bot SA \\
& HI\subset \left( SAC \right),HI\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)=\angle \left( BI;HI \right).$
Vì $BH\bot \left( SAC \right)\left( cmt \right)\Rightarrow BH\bot HI\Rightarrow \Delta BHI$ vuông tại $I.$
Do đó $\angle \left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)=\angle \left( BH;HI \right)=\angle BHI$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có $AB=BC=2a$ nên $BH=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2},AC=AB\sqrt{2}=2\sqrt{2}a.$
Ta có: $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a.$
$\Rightarrow HI=\dfrac{SH.AH}{SA}=\dfrac{a.\sqrt{2}a}{\sqrt{3}a}=\dfrac{\sqrt{6}a}{3}.$
Xét tam giác vuông $BHI$ có $\tan \angle BIH=\dfrac{BH}{IH}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{6}a}{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow \angle BIH={{60}^{0}}$
Vậy $\angle \left( \left( SAB \right);\left( SAC \right) \right)={{60}^{0}}.$
Đáp án A.