Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng ${{60}^{0}}$ (tham khảo hình bên dưới). Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC,$ vì tam giác $ABC$ đều nên $SB=SC$. Suy ra $AM\bot BC,SM\bot BC$.
Kẻ $AH\bot SM\left( H\in SM \right)$
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot SM \\
& BC\bot AM \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow BC\bot AH$
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot AH \\
& SM\bot AH \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \left( SBC \right)\bot AH$
Suy ra góc giữa $SA$ và $\left( SBC \right)$ bằng $\widehat{ASM}\Rightarrow \widehat{ASM}={{60}^{0}}$
$\Rightarrow SA=AM.\cot {{60}^{0}}=\dfrac{a}{2}$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC,$ vì tam giác $ABC$ đều nên $SB=SC$. Suy ra $AM\bot BC,SM\bot BC$.
Kẻ $AH\bot SM\left( H\in SM \right)$
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot SM \\
& BC\bot AM \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow BC\bot AH$
$\left. \begin{aligned}
& BC\bot AH \\
& SM\bot AH \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \left( SBC \right)\bot AH$
Suy ra góc giữa $SA$ và $\left( SBC \right)$ bằng $\widehat{ASM}\Rightarrow \widehat{ASM}={{60}^{0}}$
$\Rightarrow SA=AM.\cot {{60}^{0}}=\dfrac{a}{2}$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$
Đáp án C.