Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. $V=\dfrac{5\sqrt{15}\pi }{18}$
B. $V=\dfrac{5\pi }{3}$
C. $V=\dfrac{5\sqrt{15}\pi }{54}$
D. $V=\dfrac{4\sqrt{3}\pi }{27}$
A. $V=\dfrac{5\sqrt{15}\pi }{18}$
B. $V=\dfrac{5\pi }{3}$
C. $V=\dfrac{5\sqrt{15}\pi }{54}$
D. $V=\dfrac{4\sqrt{3}\pi }{27}$
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có mặt bên vuông góc với đáy $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\dfrac{g{{t}^{2}}}{4}}$ với ${{R}_{b}},{{R}_{d}}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy vàbán kính mặt cầu ngoại tiếp đáy, gt là giao tuyến của mặt bên vuông góc đáy và mặt đáy.
Cách giải:
Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh 1 nên ${{R}_{b}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3},$ đáy là tam giác đều cạnh 1 nên ${{R}_{d}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
Ta có $\left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB$ và $AB=1.$
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ là: $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\dfrac{g{{t}^{2}}}{4}}=\sqrt{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{6}.$
Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{\sqrt{15}}{6} \right)}^{2}}=\dfrac{5\sqrt{15}\pi }{54}.$
Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có mặt bên vuông góc với đáy $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\dfrac{g{{t}^{2}}}{4}}$ với ${{R}_{b}},{{R}_{d}}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy vàbán kính mặt cầu ngoại tiếp đáy, gt là giao tuyến của mặt bên vuông góc đáy và mặt đáy.
Cách giải:
Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh 1 nên ${{R}_{b}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3},$ đáy là tam giác đều cạnh 1 nên ${{R}_{d}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
Ta có $\left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB$ và $AB=1.$
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ là: $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\dfrac{g{{t}^{2}}}{4}}=\sqrt{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{6}.$
Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{\sqrt{15}}{6} \right)}^{2}}=\dfrac{5\sqrt{15}\pi }{54}.$
Đáp án C.