Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90{}^\circ $, góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCB \right)$ bằng $60{}^\circ $. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $$ $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{24}$.
Xét $\Delta SAB$ và $ \Delta SCB$ có: $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90{}^\circ ; AB=BC$, cạnh $SB$ chung nên $\Delta SAB=\Delta SCB$ Trong tam giác $SAB$ kẻ đường cao $AE\bot SB$ khi đó $CE\bot SB$.
Khi đó $\left( \widehat{\left( SAB \right) , \left( SBC \right)} \right)=\left( \widehat{AE,CE} \right)=60{}^\circ $.
Trường hợp $\widehat{AEC}=\left( \widehat{AE,CE} \right)=60{}^\circ $ thì $AE=AC=AB=a$ điều này vô lí vì tam giác $AEB$ vuông tại $E$ suy ra $\widehat{AEC}=180{}^\circ -\left( \widehat{AE,CE} \right)=120{}^\circ $.
Trong tam giác $AEC$ cân tại $E$ kẻ đường cao $EK$, ta có $\widehat{EAK}=30{}^\circ $.
Xét tam giác vuông $AEK$ ta có: $AE=\dfrac{AK}{\cos 30{}^\circ }=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$.
Trong tam giác vuông $ABE$ ta có $BE=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{E}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a$.
Trong tam giác $SAB$ có: $BS=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BE}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
${{V}_{B.EAC}}=\dfrac{1}{3}.BE.\dfrac{1}{2}.EA.EC.\sin 120{}^\circ =\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{1}{2}.{{\left( \dfrac{a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{36}$.
$\dfrac{{{V}_{B.EAC}}}{{{V}_{B.SAC}}}=\dfrac{BE}{BS}.\dfrac{BA}{BA}.\dfrac{BC}{BC}=\dfrac{BE}{BS}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{6}}{3}}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}}=\dfrac{2}{3}$.
$\Rightarrow {{V}_{B.SAC}}=\dfrac{3}{2}.{{V}_{B.EAC}}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{36}{{a}^{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{24}{{a}^{3}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{\sqrt{2}}{24}{{a}^{3}}$.
A. $$ $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{24}$.
Xét $\Delta SAB$ và $ \Delta SCB$ có: $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90{}^\circ ; AB=BC$, cạnh $SB$ chung nên $\Delta SAB=\Delta SCB$ Trong tam giác $SAB$ kẻ đường cao $AE\bot SB$ khi đó $CE\bot SB$.
Khi đó $\left( \widehat{\left( SAB \right) , \left( SBC \right)} \right)=\left( \widehat{AE,CE} \right)=60{}^\circ $.
Trường hợp $\widehat{AEC}=\left( \widehat{AE,CE} \right)=60{}^\circ $ thì $AE=AC=AB=a$ điều này vô lí vì tam giác $AEB$ vuông tại $E$ suy ra $\widehat{AEC}=180{}^\circ -\left( \widehat{AE,CE} \right)=120{}^\circ $.
Trong tam giác $AEC$ cân tại $E$ kẻ đường cao $EK$, ta có $\widehat{EAK}=30{}^\circ $.
Xét tam giác vuông $AEK$ ta có: $AE=\dfrac{AK}{\cos 30{}^\circ }=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$.
Trong tam giác vuông $ABE$ ta có $BE=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{E}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a$.
Trong tam giác $SAB$ có: $BS=\dfrac{A{{B}^{2}}}{BE}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
${{V}_{B.EAC}}=\dfrac{1}{3}.BE.\dfrac{1}{2}.EA.EC.\sin 120{}^\circ =\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{1}{2}.{{\left( \dfrac{a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{36}$.
$\dfrac{{{V}_{B.EAC}}}{{{V}_{B.SAC}}}=\dfrac{BE}{BS}.\dfrac{BA}{BA}.\dfrac{BC}{BC}=\dfrac{BE}{BS}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{6}}{3}}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}}=\dfrac{2}{3}$.
$\Rightarrow {{V}_{B.SAC}}=\dfrac{3}{2}.{{V}_{B.EAC}}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{36}{{a}^{3}}=\dfrac{\sqrt{2}}{24}{{a}^{3}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{\sqrt{2}}{24}{{a}^{3}}$.
Đáp án D.