Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABC}$ có đáy ${ABC}$ là tam giác đều cạnh ${a}$, ${SA\bot \left( ABC \right)}$, góc giữa đường thẳng ${SB}$ và mặt phẳng ${\left( ABC \right)}$ bằng ${60{}^\circ }$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${AC}$ và ${SB}$ bằng
A. ${\dfrac{a\sqrt{15}}{5}}$.
B. ${\dfrac{a\sqrt{7}}{7}}$.
C. ${2a}$.
D. ${\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}$.
Qua B kẻ đường thẳng $\Delta //AC$ kẻ $AK\bot \Delta (K\in \Delta )$ và kẻ $AH\bot SK(H\in SK)$
Theo giả thiết ta có $SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BK.\text{ V }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }AK\bot BK\Rightarrow BK\bot (SAK)$
$\Rightarrow (ABK)\bot (SAK)$.Từ đó suy ra $AH\bot (SBK)\Rightarrow AH=d(A,(SBK))$
Vì$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BK//AC \\
AC\notin (SBK) \\
\end{array}\Rightarrow (SBK)//AC\Rightarrow d(SB,AC)=d(AC,(SBK))=d(A,(SBK))=AH \right.$
Ta có $SA\bot (ABC)\Rightarrow $ góc giữa $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{SBA}$
Tam giác $SAB$ vuông tại A nên $SA=AB$ $\tan \widehat{SBA}=a\sqrt{3}$
Tam giác $ABK$ vuông tại K và $\widehat{KBA}=\widehat{BAC}={{60}^{0}}$ (vì $BK//AC)$ nên $AK=AB\sin \widehat{KBA}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Tam giác SAKvuông tại A đường cao AH nên có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{3{{a}^{2}}}$
Suy ra $AH=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$,Vậy $d(SB,AC)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
A. ${\dfrac{a\sqrt{15}}{5}}$.
B. ${\dfrac{a\sqrt{7}}{7}}$.
C. ${2a}$.
D. ${\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}$.
Qua B kẻ đường thẳng $\Delta //AC$ kẻ $AK\bot \Delta (K\in \Delta )$ và kẻ $AH\bot SK(H\in SK)$
Theo giả thiết ta có $SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BK.\text{ V }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }AK\bot BK\Rightarrow BK\bot (SAK)$
$\Rightarrow (ABK)\bot (SAK)$.Từ đó suy ra $AH\bot (SBK)\Rightarrow AH=d(A,(SBK))$
Vì$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BK//AC \\
AC\notin (SBK) \\
\end{array}\Rightarrow (SBK)//AC\Rightarrow d(SB,AC)=d(AC,(SBK))=d(A,(SBK))=AH \right.$
Ta có $SA\bot (ABC)\Rightarrow $ góc giữa $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{SBA}$
Tam giác $SAB$ vuông tại A nên $SA=AB$ $\tan \widehat{SBA}=a\sqrt{3}$
Tam giác $ABK$ vuông tại K và $\widehat{KBA}=\widehat{BAC}={{60}^{0}}$ (vì $BK//AC)$ nên $AK=AB\sin \widehat{KBA}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Tam giác SAKvuông tại A đường cao AH nên có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{3{{a}^{2}}}$
Suy ra $AH=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$,Vậy $d(SB,AC)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
Đáp án A.