Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,\ \ SA\bot (ABC)$, góc giữa đường thẳng SB và (ABC)bằng ${{60}^{0}}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$
A. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
D. $2a$.
Vì $SA\bot \left( ABC \right)$ nên $\left( SB,\left( ABC \right) \right)=\left( SB,AB \right)=\widehat{SBA}$ $\Rightarrow \widehat{SBA}=60{}^\circ $.
Trong $\Delta SAB$ có $SA=AB.\tan \widehat{SBA}=a.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$.
Dựng hình bình hành $ACBD$, ta có $AC\text{//}\left( SBD \right)$ nên:
$d\left( AC,SB \right)=d\left( AC,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)$.
Gọi $M$ là trung điểm $BD$, có $\Delta ABD$ cân tại A , suy ra $BD\bot AM$.
Từ $SA\bot \left( ABC \right)$ ta có $BD\bot SA$, do đó $BD\bot \left( SAM \right)$. $\Rightarrow \left( SAM \right)\bot (SBD)$
Trên $\left( SAM \right)$ kẻ $AH\bot SM$ ( $H\in SM$ ) thì $AH\bot \left( SBD \right)$ nên $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$.
Tam giác đều $ABD$ cạnh $a$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong tam giác $SAM$ vuông tại $A$, ta có
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{5}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
Vậy $d\left( AC,SB \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$.
D. $2a$.
Vì $SA\bot \left( ABC \right)$ nên $\left( SB,\left( ABC \right) \right)=\left( SB,AB \right)=\widehat{SBA}$ $\Rightarrow \widehat{SBA}=60{}^\circ $.
Trong $\Delta SAB$ có $SA=AB.\tan \widehat{SBA}=a.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$.
Dựng hình bình hành $ACBD$, ta có $AC\text{//}\left( SBD \right)$ nên:
$d\left( AC,SB \right)=d\left( AC,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)$.
Gọi $M$ là trung điểm $BD$, có $\Delta ABD$ cân tại A , suy ra $BD\bot AM$.
Từ $SA\bot \left( ABC \right)$ ta có $BD\bot SA$, do đó $BD\bot \left( SAM \right)$. $\Rightarrow \left( SAM \right)\bot (SBD)$
Trên $\left( SAM \right)$ kẻ $AH\bot SM$ ( $H\in SM$ ) thì $AH\bot \left( SBD \right)$ nên $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$.
Tam giác đều $ABD$ cạnh $a$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong tam giác $SAM$ vuông tại $A$, ta có
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{5}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
Vậy $d\left( AC,SB \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Đáp án A.