Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,SA$ vuông góc với đáy, góc giữa $SB$ và đáy bằng ${{60}^{0}}.$ Tính khoảng cách giữa $AC$ và $SB$ theo $a.$
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
B. $2a$
C. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
D. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
B. $2a$
C. $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
D. $\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$
Cách giải:
Trong $\left( ABC \right)$ dựng hình bình hành $ABCD.$
Ta có $AC//BD\Rightarrow AC//\left( SBD \right)\supset SB\Rightarrow d\left( AC;SB \right)=d\left( A;\left( SBD \right) \right)=2d\left( O;\left( SBD \right) \right)$ với $O=AC\cap BD.$
Gọi $K,H,I$ lần lượt là trung điểm của $BD,BK,SD$ thì $\left( SBD \right)\bot \left( OHI \right)$ và $\left( SBD \right)\cap \left( OHI \right)=HI.$
Trong $\left( OHI \right)$ kẻ $OJ\bot HI$ thì $OJ=d\left( O;\left( SBD \right) \right).$
Mặt khác $\Delta BCD$ đều nên $CK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Ta có: $\angle \left( SB;\left( ABC \right) \right)=\angle SBA={{60}^{0}}\Rightarrow SA=AB.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.$
$\Delta OHI$ vuông tại $O\Rightarrow \dfrac{1}{O{{J}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}\Rightarrow OJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}.$
Khi đó $d\left( A;\left( SBD \right) \right)=2d\left( O;\left( SBD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
Vậy $d\left( AC;SB \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
Trong $\left( ABC \right)$ dựng hình bình hành $ABCD.$
Ta có $AC//BD\Rightarrow AC//\left( SBD \right)\supset SB\Rightarrow d\left( AC;SB \right)=d\left( A;\left( SBD \right) \right)=2d\left( O;\left( SBD \right) \right)$ với $O=AC\cap BD.$
Gọi $K,H,I$ lần lượt là trung điểm của $BD,BK,SD$ thì $\left( SBD \right)\bot \left( OHI \right)$ và $\left( SBD \right)\cap \left( OHI \right)=HI.$
Trong $\left( OHI \right)$ kẻ $OJ\bot HI$ thì $OJ=d\left( O;\left( SBD \right) \right).$
Mặt khác $\Delta BCD$ đều nên $CK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2},OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Ta có: $\angle \left( SB;\left( ABC \right) \right)=\angle SBA={{60}^{0}}\Rightarrow SA=AB.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.$
$\Delta OHI$ vuông tại $O\Rightarrow \dfrac{1}{O{{J}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}\Rightarrow OJ=\dfrac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}.$
Khi đó $d\left( A;\left( SBD \right) \right)=2d\left( O;\left( SBD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
Vậy $d\left( AC;SB \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}.$
Đáp án C.