Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,$ $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right);$ góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng $60{}^\circ $. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB.$ Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( SMC \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{39}}{13}.$
B. $a\sqrt{3}.$
C. $a.$
D. $\dfrac{a}{2}.$
+) $AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt phẳng ( $ABC$ )nên góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là góc $\left( SB,\ AB \right)=\widehat{SBA}\Rightarrow \widehat{SBA}=60{}^\circ \Rightarrow SA=\tan 60{}^\circ .a=a\sqrt{3}$.
+) Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $d\left( B;\ (SMC) \right)=d\left( A;\ (SMC) \right).$
+) Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CM\bot AB \\
& CM\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CM\bot (SAB)\Rightarrow (SMC)\bot (SAB) $. Trong mặt phẳng ($ SAB $), kẻ $ AH\bot SM,\ H\in SM\Rightarrow d\left( A;\ (SMC) \right)=AH$.
+) Tam giác $SAM$ vuông tại $S$ có $AH$ là đường cao nên
A. $\dfrac{a\sqrt{39}}{13}.$
B. $a\sqrt{3}.$
C. $a.$
D. $\dfrac{a}{2}.$
+) $AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt phẳng ( $ABC$ )nên góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là góc $\left( SB,\ AB \right)=\widehat{SBA}\Rightarrow \widehat{SBA}=60{}^\circ \Rightarrow SA=\tan 60{}^\circ .a=a\sqrt{3}$.
+) Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $d\left( B;\ (SMC) \right)=d\left( A;\ (SMC) \right).$
+) Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CM\bot AB \\
& CM\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CM\bot (SAB)\Rightarrow (SMC)\bot (SAB) $. Trong mặt phẳng ($ SAB $), kẻ $ AH\bot SM,\ H\in SM\Rightarrow d\left( A;\ (SMC) \right)=AH$.
+) Tam giác $SAM$ vuông tại $S$ có $AH$ là đường cao nên
Đáp án A.