Cho hình chóp $S. ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a, SA\bot \left(ABC \right),$ góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left(ABC \right)$ bằng...

Do $SA\bot \left(ABC \right)$ nên góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left(ABC \right)$ là góc $\widehat{SCA}.$ Suy ra $\widehat{SCA}={{30}^{0}}$.
Trong tam giác $SCA$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}\Leftrightarrow SA=AC.\tan \widehat{SCA}=a.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
Lấy điểm $D$ sao cho $ACBD$ là hình bình hành.
Khi đó $d\left(SB, AC \right)=d\left(AC,\left( SBD \right) \right)=d\left(A,\left( SBD \right) \right)$.
Ta có $AB=BD=AD\Rightarrow \Delta ABD$ đều cạnh $a$.
Gọi $M$ là trung điểm $BD.$ Suy ra $AM\bot BD$ và $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong $\Delta SAM$ kẻ $AH\bot SM$ với $H\in SM.$
Do $\left. \begin{aligned}
& BD\bot AM \\
& BD\bot SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow BD\bot \left(SAM \right)\Rightarrow BD\bot AH$.
Suy ra $AH\bot \left(SAM \right)\Rightarrow d\left(A,\left( SBD \right) \right)=AH.$
Trong $\Delta SAM$ vuông tại $A$ ta có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}+\dfrac{9}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{13}{3{{a}^{2}}}\Leftrightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.
Vậy $d\left(SB, AC \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\dfrac{a\sqrt{39}}{13}.$