Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,SA\mathrm{\perp }\left(ABC\right),$ góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ bằng...

Do $SA\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ nên góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là góc $\widehat{SCA}.$ Suy ra $\widehat{SCA}={30}^0$.
Trong tam giác $SCA$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SCA}={\displaystyle \frac{SA}{AC}}\iff SA=AC.\tan \widehat{SCA}=a.\tan {30}^0={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}.$
Lấy điểm $D$ sao cho $ACBD$ là hình bình hành.
Khi đó $d(SB,AC)=d(AC,\left(SBD\right))=d(A,\left(SBD\right))$.
Ta có $AB=BD=AD\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABD$ đều cạnh $a$.
Gọi $M$ là trung điểm $BD.$ Suy ra $AM\mathrm{\perp }BD$ và $AM={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$.
Trong $\mathrm{\Delta }SAM$ kẻ $AH\mathrm{\perp }SM$ với $H\in SM.$
Do $\begin{array}{rl}& BD\mathrm{\perp }AM\\ & BD\mathrm{\perp }SA\end{array}\}\Rightarrow BD\mathrm{\perp }\left(SAM\right)\Rightarrow BD\mathrm{\perp }AH$.
Suy ra $AH\mathrm{\perp }\left(SAM\right)\Rightarrow d(A,\left(SBD\right))=AH.$
Trong $\mathrm{\Delta }SAM$ vuông tại $A$ ta có:
${\displaystyle \frac{1}{A{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{A{M}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{S{A}^2}}\iff {\displaystyle \frac{1}{A{H}^2}}={\displaystyle \frac{4}{3a^2}}+{\displaystyle \frac{9}{3a^2}}\iff {\displaystyle \frac{1}{A{H}^2}}={\displaystyle \frac{13}{3a^2}}\iff AH={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{13}}}$.
Vậy $d(SB,AC)={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{13}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{39}}{13}}.$