Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SAC$. Biết khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $(S A B)$ bằng $\dfrac{a \sqrt{13}}{13}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
C. $V=\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$.
D. $V=\dfrac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4}$.
Gọi $O\ $ là trọng tâm tam giác $ABC$, $R$ là trung điểm của $AB$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,BR$. Gọi $O\ $ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $SN$.Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CR\bot AB \\
& HN//CR \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HN\bot AB$.
Ta có $\dfrac{OG}{SB}=\dfrac{OM}{MB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow OG//SB$.
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& SB\subset \left( SAB \right) \\
& OG//SB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OG//\left( SAB \right)\Rightarrow d\left( G,\left( SAB \right) \right)=d\left( O,\left( SAB \right) \right)$.
Mà $HA=\dfrac{3}{2}OA\Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( O,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{3}{2}\dfrac{a\sqrt{13}}{13}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& HK\bot SA \\
& AB\bot HK\left( AB\bot \left( SHN \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=HK=\dfrac{3\sqrt{13}a}{2.13}$.
Tam giác $SHN$ vuông tại $H$, $HK$ là đường cao trong tam giác vuông $SHN$ nen ta có
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{H{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{13}}{26} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}}=\dfrac{4}{9{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow SH=\dfrac{3a}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
B. $V=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
C. $V=\dfrac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$.
D. $V=\dfrac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4}$.
& CR\bot AB \\
& HN//CR \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HN\bot AB$.
Ta có $\dfrac{OG}{SB}=\dfrac{OM}{MB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow OG//SB$.
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& SB\subset \left( SAB \right) \\
& OG//SB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OG//\left( SAB \right)\Rightarrow d\left( G,\left( SAB \right) \right)=d\left( O,\left( SAB \right) \right)$.
Mà $HA=\dfrac{3}{2}OA\Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( O,\left( SAB \right) \right)=\dfrac{3}{2}\dfrac{a\sqrt{13}}{13}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& HK\bot SA \\
& AB\bot HK\left( AB\bot \left( SHN \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=HK=\dfrac{3\sqrt{13}a}{2.13}$.
Tam giác $SHN$ vuông tại $H$, $HK$ là đường cao trong tam giác vuông $SHN$ nen ta có
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{1}{H{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}-\dfrac{1}{H{{N}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{3a\sqrt{13}}{26} \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}}=\dfrac{4}{9{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow SH=\dfrac{3a}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Đáp án A.