Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, đường thẳng $SB$ tạo với đáy một góc bằng $60{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
Ta có $SA\bot \left( ABC \right)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
$\Rightarrow AB$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
$\Rightarrow \left( \widehat{SB, \left( ABC \right)} \right)=\widehat{SBA}$ $=60{}^\circ $.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $\tan 60{}^\circ =\dfrac{SA}{AB}$ $\Leftrightarrow SA=a\sqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}$ $=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ $=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$.
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{4}$.
Ta có $SA\bot \left( ABC \right)$ nên $A$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
$\Rightarrow AB$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
$\Rightarrow \left( \widehat{SB, \left( ABC \right)} \right)=\widehat{SBA}$ $=60{}^\circ $.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $\tan 60{}^\circ =\dfrac{SA}{AB}$ $\Leftrightarrow SA=a\sqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}$ $=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ $=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án B.