Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$, gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Tính côsin của góc $\alpha $ là góc giữa đường thẳng $BM$ và $\left( ABC \right)$.
A. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{7}}{14}$.
B. $\cos \alpha =\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$.
C. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{21}}{7}$.
D. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{7}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AC\Rightarrow MH$ là đường trung bình của tam giác $SAC\Rightarrow MH=\dfrac{1}{2}SA=a.$
và $MH\text{ // SA}\text{.}$
Ta có:
$\left. \begin{aligned}
& MH//\text{ SA} \\
& \text{SA}\bot \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow MH\bot \left( ABC \right) $, lại có $ B\in \left( ABC \right) $ nên hình chiếu của$ BM $ trên$ \left( ABC \right) $ là $ BH.$
Do đó, $\left( BM,\left( ABC \right) \right)=\left( BM,BH \right)=\widehat{MBH}=\alpha .$
Trong tam giác đều $ABC$ : $BH=AB.sin60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
$MH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow MH\bot BH\Rightarrow BM=\sqrt{M{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2},\text{ cos}\alpha =\dfrac{BH}{BM}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}.$
A. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{7}}{14}$.
B. $\cos \alpha =\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$.
C. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{21}}{7}$.
D. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{7}$.
và $MH\text{ // SA}\text{.}$
Ta có:
$\left. \begin{aligned}
& MH//\text{ SA} \\
& \text{SA}\bot \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow MH\bot \left( ABC \right) $, lại có $ B\in \left( ABC \right) $ nên hình chiếu của$ BM $ trên$ \left( ABC \right) $ là $ BH.$
Do đó, $\left( BM,\left( ABC \right) \right)=\left( BM,BH \right)=\widehat{MBH}=\alpha .$
Trong tam giác đều $ABC$ : $BH=AB.sin60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
$MH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow MH\bot BH\Rightarrow BM=\sqrt{M{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2},\text{ cos}\alpha =\dfrac{BH}{BM}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}.$
Đáp án C.