Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABC)$. Biết góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABC)$ bằng ${{60}^{0}}$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$
Ta có $AM\bot BC$
Ta lại có $SA\bot BC$
Nên $BC\bot (SAM)\Rightarrow SM\bot BC$
Do đó góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABC)$ chính là góc $(AM,SM)=\widehat{SMA}={{60}^{0}}$
+ ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{(2a)}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{a}^{2}}\sqrt{3}$
+ Xét tam giác vuông $SAM$ ta có:
$\tan \widehat{SAM}=\dfrac{SA}{AM}\Rightarrow SA=AM.\tan \widehat{SAM}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}.\tan {{60}^{0}}=3a$ Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{3}.3a={{a}^{3}}\sqrt{3}$ (đvtt).
A. $\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
B. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Ta có $AM\bot BC$
Ta lại có $SA\bot BC$
Nên $BC\bot (SAM)\Rightarrow SM\bot BC$
Do đó góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABC)$ chính là góc $(AM,SM)=\widehat{SMA}={{60}^{0}}$
+ ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{(2a)}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{a}^{2}}\sqrt{3}$
+ Xét tam giác vuông $SAM$ ta có:
$\tan \widehat{SAM}=\dfrac{SA}{AM}\Rightarrow SA=AM.\tan \widehat{SAM}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}.\tan {{60}^{0}}=3a$ Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{3}.3a={{a}^{3}}\sqrt{3}$ (đvtt).
Đáp án A.