Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, $SA=2\sqrt{6}a$. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB và SC. Biết góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (ABC) bằng $60{}^\circ $, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp đa diện ABCMN?
A. $S=36\pi {{a}^{2}}$.
B. $S=72\pi {{a}^{2}}$.
C. $S=24\pi {{a}^{2}}$.
D. $S=8\pi {{a}^{2}}$.
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tâm giác $ABC$. $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AB \\
& DB\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DB\bot \left( SAB \right)\Rightarrow DB\bot AM\ ,\left( DoAM\subset \left( SAB \right) \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot SB \\
& AM\bot DB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot \left( SDB \right)\Rightarrow AM\bot SD\ \left( 1 \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& DC\bot AC \\
& DC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow DC\bot AN\ \left( 2 \right),\left( DoAN\subset \left( SAC \right) \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& AN\bot SC \\
& AN\bot DC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AN\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AN\bot SD\ \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\ \left( 2 \right)$ $\Rightarrow SD\bot \left( AMN \right)$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot \left( ABCD \right) \\
& SD\bot \left( AMN \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( AMN \right),\left( ABC \right) \right)=\left( SA,SD \right)={{60}^{0}}.$
Tam giác $SAD$ vuông tại $A\Rightarrow \tan \widehat{ASD}=\dfrac{SA}{AD}\Rightarrow AD=\dfrac{2\sqrt{6}a}{\tan {{60}^{0}}}=2\sqrt{2}a.$
$\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot \left( SDB \right) \\
& DM\subset \left( SDB \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot MD\ \left( 3 \right)$.
$\left\{ \begin{aligned}
& AN\bot \left( SCD \right) \\
& DN\subset \left( SCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AN\bot ND\ \left( 4 \right)$
Do đó ta có $\widehat{AND}=\widehat{AMD}=\widehat{ACD}=\widehat{ABD}={{90}^{0}}\Rightarrow O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện $ABCMN\Rightarrow R=\dfrac{AD}{2}=\sqrt{2}a.$
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện là ${{S}_{1}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( \sqrt{2}a \right)}^{2}}=8\pi {{a}^{2}}.$
A. $S=36\pi {{a}^{2}}$.
B. $S=72\pi {{a}^{2}}$.
C. $S=24\pi {{a}^{2}}$.
D. $S=8\pi {{a}^{2}}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AB \\
& DB\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DB\bot \left( SAB \right)\Rightarrow DB\bot AM\ ,\left( DoAM\subset \left( SAB \right) \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot SB \\
& AM\bot DB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot \left( SDB \right)\Rightarrow AM\bot SD\ \left( 1 \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& DC\bot AC \\
& DC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow DC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow DC\bot AN\ \left( 2 \right),\left( DoAN\subset \left( SAC \right) \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& AN\bot SC \\
& AN\bot DC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AN\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AN\bot SD\ \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\ \left( 2 \right)$ $\Rightarrow SD\bot \left( AMN \right)$.
Do $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot \left( ABCD \right) \\
& SD\bot \left( AMN \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( AMN \right),\left( ABC \right) \right)=\left( SA,SD \right)={{60}^{0}}.$
Tam giác $SAD$ vuông tại $A\Rightarrow \tan \widehat{ASD}=\dfrac{SA}{AD}\Rightarrow AD=\dfrac{2\sqrt{6}a}{\tan {{60}^{0}}}=2\sqrt{2}a.$
$\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot \left( SDB \right) \\
& DM\subset \left( SDB \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot MD\ \left( 3 \right)$.
$\left\{ \begin{aligned}
& AN\bot \left( SCD \right) \\
& DN\subset \left( SCD \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AN\bot ND\ \left( 4 \right)$
Do đó ta có $\widehat{AND}=\widehat{AMD}=\widehat{ACD}=\widehat{ABD}={{90}^{0}}\Rightarrow O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện $ABCMN\Rightarrow R=\dfrac{AD}{2}=\sqrt{2}a.$
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện là ${{S}_{1}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( \sqrt{2}a \right)}^{2}}=8\pi {{a}^{2}}.$
Đáp án D.