Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABC}$ có cạnh bên ${SA}$ vuông góc với đáy , đáy ${ABC}$ là tam giác đều cạnh ${a}$, góc giữa mặt ${\left( {SBC} \right)}$ và đáy bằng ${{60^0}}$. Tính khoảng cách từ ${A}$ đến ${\left( {SBC} \right)}$.
A. ${\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}$.
B. ${\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}$.
C. ${\dfrac{a}{2}}$.
D. ${\dfrac{{3a}}{4}}$.
Gọi N là trung điểm cạnh $BC\Rightarrow AN\bot BC;AN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot BC\left( SA\bot \left( ABC \right) \right) \\
& AN\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAN \right)\Rightarrow BC\bot SN$
Kẻ $AK\bot SN\Rightarrow AK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AK$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABC \right)\cap \left( SBC \right)=BC \\
& AN\subset \left( ABC \right);AN\bot BC \\
& SN\subset \left( SBC \right);SN\bot BC \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right);\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{SN;AN} \right)=\widehat{SNA}={{60}^{0}}$
Xét tam giác AKN vuông tại K ta có: $AK=AN.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{4}$
A. ${\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}$.
B. ${\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}$.
C. ${\dfrac{a}{2}}$.
D. ${\dfrac{{3a}}{4}}$.
Gọi N là trung điểm cạnh $BC\Rightarrow AN\bot BC;AN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& SA\bot BC\left( SA\bot \left( ABC \right) \right) \\
& AN\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAN \right)\Rightarrow BC\bot SN$
Kẻ $AK\bot SN\Rightarrow AK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AK$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABC \right)\cap \left( SBC \right)=BC \\
& AN\subset \left( ABC \right);AN\bot BC \\
& SN\subset \left( SBC \right);SN\bot BC \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right);\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{SN;AN} \right)=\widehat{SNA}={{60}^{0}}$
Xét tam giác AKN vuông tại K ta có: $AK=AN.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{4}$
Đáp án D.