Cho hình chóp $S . A B C$ có $A C = a, B C = 2 a, \hat{A C B} = 120^{0} .$ Cạnh bên $S A$ vuông góc $(A B C),$ đường thẳng $S C$ tạo với mặt phẳng...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C

có

A C = a, B C = 2 a, \hat{A C B} = 120^{0} .

Cạnh bên

S A

vuông góc

(A B C),

đường thẳng

S C

tạo với mặt phẳng

(S A B)

một góc

30^{0} .

Tính thể tích khối chóp

S . A B C

.
A.

\frac{a^{3} \sqrt{105}}{7} .

B.

\frac{a^{3} \sqrt{105}}{28} .

C.

\frac{a^{3} \sqrt{105}}{42} .

D.

\frac{a^{3} \sqrt{105}}{21} .

Kẻ

C M

vuông góc với

A B .

Khi đó góc tạo bởi

S C

và

(S A B)

chính là góc

\hat{M S C} = 30^{0} .

S_{A B C} = \frac{1}{2} C A . C B . \sin 120^{0} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}

A B^{2} = a^{2} + {(2 a)}^{2} - 2. a .2 a . \cos 120^{0} = 7 a^{2} \Rightarrow A B = a \sqrt{7}

S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . C M \Rightarrow C M = \frac{2 S_{A B C}}{A B} = \frac{2. \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}}{a \sqrt{7}} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{7}}

Trong tam giác

S M C

vuông tại

M

có

S M = \frac{M C}{\tan 30^{0}} = \frac{a \sqrt{3} / \sqrt{7}}{\sqrt{3} / 3} = \frac{3 a}{\sqrt{7}}

Trong tam giác

A M C

vuông tại

M

có

A M = \sqrt{A C^{2} - C M^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{3 a^{2}}{7}} = \frac{2 a}{\sqrt{7}}

Trong tam giác

S A M

vuông tại

A

có

S A = \sqrt{S M^{2} - A M^{2}} = \sqrt{\frac{9 a^{2}}{7} - \frac{4 a^{2}}{7}} = \frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{7}}

Vậy

V_{S A B C} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . S A = \frac{1}{3} \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} . \frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{7}} = \frac{a^{3} \sqrt{105}}{42} .

Đáp án C.

Cho hình chóp S.ABC có AC=a,BC=2a,ACB^=1200. Cạnh bên SA vuông góc (ABC), đường thẳng SC tạo với mặt phẳng...