Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $AC=a,BC=2a,\widehat{ACB}={{120}^{0}}.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc $\left( ABC \right),$ đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ một góc ${{30}^{0}}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{7}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{28}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{42}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{21}.$
Kẻ $CM$ vuông góc với $AB.$ Khi đó góc tạo bởi $SC$ và $\left( SAB \right)$ chính là góc $\widehat{MSC}={{30}^{0}}.$
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}CA.CB.\sin {{120}^{0}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
$A{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}-2.a.2a.\cos {{120}^{0}}=7{{a}^{2}}\Rightarrow AB=a\sqrt{7}$
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.CM\Rightarrow CM=\dfrac{2{{S}_{ABC}}}{AB}=\dfrac{2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{7}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
Trong tam giác $SMC$ vuông tại $M$ có $SM=\dfrac{MC}{\tan {{30}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{3}/\sqrt{7}}{\sqrt{3}/3}=\dfrac{3a}{\sqrt{7}}$
Trong tam giác $AMC$ vuông tại $M$ có $AM=\sqrt{A{{C}^{2}}-C{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{7}}=\dfrac{2a}{\sqrt{7}}$
Trong tam giác $SAM$ vuông tại $A$ có $SA=\sqrt{S{{M}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{9{{a}^{2}}}{7}-\dfrac{4{{a}^{2}}}{7}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$
Vậy ${{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SA=\dfrac{1}{3}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{\sqrt{7}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{42}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{7}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{28}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{42}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{21}.$
Kẻ $CM$ vuông góc với $AB.$ Khi đó góc tạo bởi $SC$ và $\left( SAB \right)$ chính là góc $\widehat{MSC}={{30}^{0}}.$
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}CA.CB.\sin {{120}^{0}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
$A{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}-2.a.2a.\cos {{120}^{0}}=7{{a}^{2}}\Rightarrow AB=a\sqrt{7}$
${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.CM\Rightarrow CM=\dfrac{2{{S}_{ABC}}}{AB}=\dfrac{2.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{7}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
Trong tam giác $SMC$ vuông tại $M$ có $SM=\dfrac{MC}{\tan {{30}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{3}/\sqrt{7}}{\sqrt{3}/3}=\dfrac{3a}{\sqrt{7}}$
Trong tam giác $AMC$ vuông tại $M$ có $AM=\sqrt{A{{C}^{2}}-C{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{7}}=\dfrac{2a}{\sqrt{7}}$
Trong tam giác $SAM$ vuông tại $A$ có $SA=\sqrt{S{{M}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{9{{a}^{2}}}{7}-\dfrac{4{{a}^{2}}}{7}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$
Vậy ${{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SA=\dfrac{1}{3}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{\sqrt{7}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{105}}{42}.$
Đáp án C.