Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB=AC=5a;BC=6a.$ Các mặt bên tạo với đáy góc ${{60}^{0}}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$
A. $6{{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. $12{{a}^{2}}\sqrt{3}$
C. $18{{a}^{3}}\sqrt{3}$
D. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right).$ Các điểm $M,N,P$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên các cạnh $AB,AC,BC.$
Khi đó ta có: $\widehat{SMH}=\widehat{SNH}=\widehat{SPH}={{60}^{0}},$ suy ra: $HM=HN=HP$ hay $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$
Xé tam giác $ABC$ ta có:
Nửa chu vi: $p=\dfrac{AB+BC+CA}{2}=\dfrac{5a+5a+6a}{2}=8a.$
Diện tích: ${{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=\sqrt{8a.3a.3a.2a}=12{{a}^{2}}.$
Áp dụng công thức $S=pr\Rightarrow r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{12{{a}^{2}}}{8a}=\dfrac{3a}{2}.$
Suy ra: $HM=r=\dfrac{3a}{2},SH=HM.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{3a}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}a}{2}.$
Vậy ${{V}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.12{{a}^{2}}.\dfrac{3\sqrt{3}a}{2}=6\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
A. $6{{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. $12{{a}^{2}}\sqrt{3}$
C. $18{{a}^{3}}\sqrt{3}$
D. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right).$ Các điểm $M,N,P$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên các cạnh $AB,AC,BC.$
Khi đó ta có: $\widehat{SMH}=\widehat{SNH}=\widehat{SPH}={{60}^{0}},$ suy ra: $HM=HN=HP$ hay $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$
Xé tam giác $ABC$ ta có:
Nửa chu vi: $p=\dfrac{AB+BC+CA}{2}=\dfrac{5a+5a+6a}{2}=8a.$
Diện tích: ${{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=\sqrt{8a.3a.3a.2a}=12{{a}^{2}}.$
Áp dụng công thức $S=pr\Rightarrow r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{12{{a}^{2}}}{8a}=\dfrac{3a}{2}.$
Suy ra: $HM=r=\dfrac{3a}{2},SH=HM.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{3a}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}a}{2}.$
Vậy ${{V}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.12{{a}^{2}}.\dfrac{3\sqrt{3}a}{2}=6\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
Đáp án A.