Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$, $\angle ABC={{60}^{0}}$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là một điểm thuộc cạnh $BC$. Góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{45}^{0}}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
Phương pháp giải:
- Xác định góc giữa $SA$ và mặt đáy là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó trên mặt đáy.
- Từ đó tính $SH$ theo $HA$.
- Tính ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC$ không đổi $\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}$ đạt GTNN khi $HA$ nhỏ nhất.
- $HA$ đạt GTNN khi và chỉ khi $HA\bot BC$, từ đó tính $HA$ và tính GTNN của ${{V}_{S.ABC}}$.
Giải chi tiết:
$\Rightarrow \angle \left( SA;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SA;HA \right)=\angle SAH={{45}^{0}}$.
Ta có $SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot AH\Rightarrow \Delta SAH$ vuông cân tại H $\Rightarrow SH=AH$.
Ta có: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}$.
$\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}AH.\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}.AH$
Để ${{V}_{S.ABC}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $A{{H}_{\min }}\Leftrightarrow AH\bot BC$ $\Rightarrow AH=\dfrac{2{{S}_{\Delta ABC}}}{BC}=\dfrac{2.\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy $\min {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
- Xác định góc giữa $SA$ và mặt đáy là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó trên mặt đáy.
- Từ đó tính $SH$ theo $HA$.
- Tính ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC$ không đổi $\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}$ đạt GTNN khi $HA$ nhỏ nhất.
- $HA$ đạt GTNN khi và chỉ khi $HA\bot BC$, từ đó tính $HA$ và tính GTNN của ${{V}_{S.ABC}}$.
Giải chi tiết:
$\Rightarrow \angle \left( SA;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SA;HA \right)=\angle SAH={{45}^{0}}$.
Ta có $SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot AH\Rightarrow \Delta SAH$ vuông cân tại H $\Rightarrow SH=AH$.
Ta có: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}$.
$\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}AH.\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}.AH$
Để ${{V}_{S.ABC}}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $A{{H}_{\min }}\Leftrightarrow AH\bot BC$ $\Rightarrow AH=\dfrac{2{{S}_{\Delta ABC}}}{BC}=\dfrac{2.\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vậy $\min {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Đáp án B.