Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$, $\mathrm{\angle }ABC={60}^0$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là một...

Phương pháp giải:
- Xác định góc giữa $SA$ và mặt đáy là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó trên mặt đáy.
- Từ đó tính $SH$ theo $HA$.
- Tính $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.BC.\sin \mathrm{\angle }ABC$ không đổi $\Rightarrow V_{S.ABC}$ đạt GTNN khi $HA$ nhỏ nhất.
- $HA$ đạt GTNN khi và chỉ khi $HA\mathrm{\perp }BC$, từ đó tính $HA$ và tính GTNN của $V_{S.ABC}$.
Giải chi tiết:

$\Rightarrow \mathrm{\angle }(SA;\left(ABC\right))=\mathrm{\angle }(SA;HA)=\mathrm{\angle }SAH={45}^0$.
Ta có $SH\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow SH\mathrm{\perp }AH\Rightarrow \mathrm{\Delta }SAH$ vuông cân tại H $\Rightarrow SH=AH$.
Ta có: $S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.BC.\sin \mathrm{\angle }ABC={\displaystyle \frac{1}{2}}.a.a\sqrt{3}.\sin {60}^0={\displaystyle \frac{3a^2}{4}}$.
$\Rightarrow V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}SH.S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}AH.{\displaystyle \frac{3a^2}{4}}={\displaystyle \frac{a^2}{4}}.AH$
Để $V_{S.ABC}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $A{H}_{min}\iff AH\mathrm{\perp }BC$ $\Rightarrow AH={\displaystyle \frac{2S_{\mathrm{\Delta }ABC}}{BC}}={\displaystyle \frac{2.{\displaystyle \frac{3a^2}{4}}}{a\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$
Vậy $min{V}_{S.ABC}={\displaystyle \frac{a^2}{4}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{3}}{8}}$.