Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB=3a,BC=4a,CA=5a$, các mặt bên tạo với đáy góc ${{60}^{0}}$, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ thuộc miền trong tam giác ABC. Tính thể tích hình chóp $S.ABC$.
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. $6{{a}^{3}}\sqrt{3}$
C. $12{{a}^{3}}\sqrt{3}$
D. $2{{a}^{3}}\sqrt{2}$
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
B. $6{{a}^{3}}\sqrt{3}$
C. $12{{a}^{3}}\sqrt{3}$
D. $2{{a}^{3}}\sqrt{2}$
Phương pháp giải:
- Gọi H là hình chiếu của S thuộc miền trong tam giác $ABC$, chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
- Sử dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $r=\dfrac{S}{p}$, với $S,p$ lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao khối chóp.
- Tính thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}$.
Giải chi tiết:
Vì chóp $S.ABC$ có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau và hình chiếu của S thuộc miền trong tam giác $ABC$ nên hình chiếu của S là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$.
Gọi H là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$
Xét $\Delta ABC$ có $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=C{{A}^{2}}=25{{a}^{2}}$ nên $\Delta ABC$ vuông tại B (định lí Pytago đảo).
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $HK//BC\left( K\in AB \right)$ ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AB\bot SH \\
AB\bot HK \\
\end{array} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SHK \right)\Rightarrow AB\bot SK$.
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB \\
SK\subset \left( SAB \right);SK\bot AB \\
HK\subset \left( ABC \right);HK\bot AB \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SAB \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SK;HK \right)=\angle SKH={{60}^{0}}$.
Vì $HK$ là bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ nên $HK=\dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{p}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.3a.4a}{\dfrac{3a+4a+5a}{2}}=a$.
Xét tam giác vuông $SHK$ ta có $SH=HK.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}.3a.4a=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
- Gọi H là hình chiếu của S thuộc miền trong tam giác $ABC$, chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
- Sử dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $r=\dfrac{S}{p}$, với $S,p$ lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao khối chóp.
- Tính thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}$.
Giải chi tiết:
Vì chóp $S.ABC$ có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau và hình chiếu của S thuộc miền trong tam giác $ABC$ nên hình chiếu của S là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$.
Gọi H là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ $\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$
Xét $\Delta ABC$ có $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=C{{A}^{2}}=25{{a}^{2}}$ nên $\Delta ABC$ vuông tại B (định lí Pytago đảo).
Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $HK//BC\left( K\in AB \right)$ ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AB\bot SH \\
AB\bot HK \\
\end{array} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SHK \right)\Rightarrow AB\bot SK$.
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB \\
SK\subset \left( SAB \right);SK\bot AB \\
HK\subset \left( ABC \right);HK\bot AB \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow \angle \left( \left( SAB \right);\left( ABC \right) \right)=\angle \left( SK;HK \right)=\angle SKH={{60}^{0}}$.
Vì $HK$ là bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ nên $HK=\dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{p}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.3a.4a}{\dfrac{3a+4a+5a}{2}}=a$.
Xét tam giác vuông $SHK$ ta có $SH=HK.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}a\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}.3a.4a=2\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
Đáp án A.