Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB=3,BC=4,AC=5$. Các mặt bên $\left( SAB \right),\left( SAC \right),\left( SBC \right)$ đều cùng hợp với mặt đáy $\left( ABC \right)$ một góc $60{}^\circ $ và hình chiếu $H$ của $S$ lên $\left( ABC \right)$ nằm khác phía với $A$ đối với đường thẳng $BC$. Thể tích khối chóp $S.ABC$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Kẻ $HD\bot AB\left( D\in AB \right),HE\bot AC\left( E\in AC \right),HF\bot BC\left( E\in BC \right)$.
Khi đó ta có $HD=\dfrac{SH}{\tan {{30}^{0}}}=SH\sqrt{3},HE=\dfrac{SH}{\tan {{45}^{0}}}=SH,HF=\dfrac{SH}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{SH}{\sqrt{3}}$.
Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ suy ra $\dfrac{1}{2}SH\left( 1+\sqrt{3}+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)a=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow SH=\dfrac{3a}{2\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2\left( 4+\sqrt{3} \right)}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Kẻ $HD\bot AB\left( D\in AB \right),HE\bot AC\left( E\in AC \right),HF\bot BC\left( E\in BC \right)$.
Khi đó ta có $HD=\dfrac{SH}{\tan {{30}^{0}}}=SH\sqrt{3},HE=\dfrac{SH}{\tan {{45}^{0}}}=SH,HF=\dfrac{SH}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{SH}{\sqrt{3}}$.
Ta có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ suy ra $\dfrac{1}{2}SH\left( 1+\sqrt{3}+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)a=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow SH=\dfrac{3a}{2\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a}{2\left( 4+\sqrt{3} \right)}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8\left( 4+\sqrt{3} \right)}$.
Đáp án A.