Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S . A B C D}$ có đáy là hình vuông, cạnh bên ${S A}$ vuông góc với mặt phẳng ${\left(A B C D \right)}$ và ${S A=2 a}$. Biết góc giữa ${S D}$ và mặt phẳng ${\left(S A C \right)}$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. ${\dfrac{2 a^{3}}{3}}$.
B. ${\dfrac{8 a^{3}}{3}}$.
C. ${\dfrac{4 a^{3}}{3}}$.
D. ${\dfrac{a^{3}}{3}}$.
Gọi ${O}$ là tâm hình vuông ${ABCD}$ $\Rightarrow BD\bot AC$ tại $O$.
Mà $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BD$.
Do đó $BD\bot \left( SAC \right)$ $\Rightarrow \widehat{\left( SD,\left( SAC \right) \right)}=\widehat{DSO}=30{}^\circ $.
Giả sử $AB=x\left( x>0 \right)$ $\Rightarrow AC=BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=x\sqrt{2}$
$\Rightarrow OC=OA=OB=OD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow SO=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}$.
Xét tam giác ${SOD}$ có $\tan \widehat{DSO}=\dfrac{OD}{SO}$ $\Leftrightarrow \tan 30{}^\circ =\dfrac{\dfrac{x\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\dfrac{x\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}=\dfrac{x\sqrt{6}}{2}$ $\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}=\dfrac{6{{x}^{2}}}{4}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=2a$.
Khi đó ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}.2a.2a=2{{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.2a.2{{a}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$.
A. ${\dfrac{2 a^{3}}{3}}$.
B. ${\dfrac{8 a^{3}}{3}}$.
C. ${\dfrac{4 a^{3}}{3}}$.
D. ${\dfrac{a^{3}}{3}}$.
Mà $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BD$.
Do đó $BD\bot \left( SAC \right)$ $\Rightarrow \widehat{\left( SD,\left( SAC \right) \right)}=\widehat{DSO}=30{}^\circ $.
Giả sử $AB=x\left( x>0 \right)$ $\Rightarrow AC=BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=x\sqrt{2}$
$\Rightarrow OC=OA=OB=OD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow SO=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}$.
Xét tam giác ${SOD}$ có $\tan \widehat{DSO}=\dfrac{OD}{SO}$ $\Leftrightarrow \tan 30{}^\circ =\dfrac{\dfrac{x\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\dfrac{x\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}}=\dfrac{x\sqrt{6}}{2}$ $\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}=\dfrac{6{{x}^{2}}}{4}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=2a$.
Khi đó ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}.2a.2a=2{{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.2a.2{{a}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án C.