Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thoi tâm $O, A C=4 \sqrt{2} a, B D=2 a$, hai mặt phẳng $(S A C)$ và $(S B D)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(A B C D)$. Biết góc giữa $S D$ và $(A B C D)$ bằng $30^{\circ}$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S . A B C D$ theo $a$.
A. $V=\dfrac{8 \sqrt{3} a^{3}}{3}$.
B. $V=\dfrac{16 \sqrt{6} a^{3}}{9}$
C. $V=\dfrac{8 \sqrt{6} a^{3}}{9}$.
D. $V=\dfrac{4 \sqrt{6} a^{3}}{9}$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}(S A C) \cap(S B D)=S O \\ (S A C) \perp(A B C D) \\ (S B D) \perp(A B C D)\end{array} \Rightarrow S O \perp(A B C D)\right.$.
Khi đó, góc giữa $S D$ và $(A B C D)$ là góc giữa $S D$ và hình chiếu $O D$ trên $(A B C D)$, hay chính là góc $\widehat{S D O}$.
Tam giác $S D O$ vuông tại $O$ nên $\tan \widehat{S D O}=\dfrac{S O}{O D} \Rightarrow S O=O D \cdot \tan \widehat{S D O}$.
Ta có $O D=\dfrac{1}{2} B D=a \Rightarrow S O=a \cdot \tan 30^{\circ}=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
Vậy thể tích $V$ của khối chóp $S \cdot A B C D$ là $V=\dfrac{1}{3} \cdot S O \cdot S_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{2} a \cdot 2 a=\dfrac{4 \sqrt{6} a^{3}}{9}$.
A. $V=\dfrac{8 \sqrt{3} a^{3}}{3}$.
B. $V=\dfrac{16 \sqrt{6} a^{3}}{9}$
C. $V=\dfrac{8 \sqrt{6} a^{3}}{9}$.
D. $V=\dfrac{4 \sqrt{6} a^{3}}{9}$.
Khi đó, góc giữa $S D$ và $(A B C D)$ là góc giữa $S D$ và hình chiếu $O D$ trên $(A B C D)$, hay chính là góc $\widehat{S D O}$.
Tam giác $S D O$ vuông tại $O$ nên $\tan \widehat{S D O}=\dfrac{S O}{O D} \Rightarrow S O=O D \cdot \tan \widehat{S D O}$.
Ta có $O D=\dfrac{1}{2} B D=a \Rightarrow S O=a \cdot \tan 30^{\circ}=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$.
Vậy thể tích $V$ của khối chóp $S \cdot A B C D$ là $V=\dfrac{1}{3} \cdot S O \cdot S_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{2} a \cdot 2 a=\dfrac{4 \sqrt{6} a^{3}}{9}$.
Đáp án C.