Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$, tâm $O$. $M$ là trung điểm $SA$. Biết rằng $\left( MCD \right)\bot \left( SAB \right)$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $OM, SB$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$.
C. $3a\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $BC$ và $J$ là hình chiếu của $O$ lên $SH$.
Gọi $N$, $K, I$, $E$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $AB$, $MN$ và $CD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( MCD \right)\cap \left( SAB \right)=MN \\
& IE\bot MN \\
& SK\bot MN \\
& \left( MCD \right)\bot \left( SAB \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow EI\bot SK\Rightarrow \Delta SEK $ đều $ \Rightarrow SO=a\sqrt{3}$
Ta có $OM\text{//}SC\Rightarrow OM\text{//}\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( OM,SB \right)=d\left( O, \left( SBC \right) \right)=OJ$
Xét tam giác vuông $SOH: OJ=\dfrac{SO.OH}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow d\left( OM,SB \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$.
C. $3a\sqrt{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Gọi $N$, $K, I$, $E$ lần lượt là trung điểm của $SB$, $AB$, $MN$ và $CD$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( MCD \right)\cap \left( SAB \right)=MN \\
& IE\bot MN \\
& SK\bot MN \\
& \left( MCD \right)\bot \left( SAB \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow EI\bot SK\Rightarrow \Delta SEK $ đều $ \Rightarrow SO=a\sqrt{3}$
Ta có $OM\text{//}SC\Rightarrow OM\text{//}\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( OM,SB \right)=d\left( O, \left( SBC \right) \right)=OJ$
Xét tam giác vuông $SOH: OJ=\dfrac{SO.OH}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{H}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow d\left( OM,SB \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án A.