Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ hợp với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình vuông $ABCD$.
Ta có $S.ABCD$ là hình chóp đều suy ra $SO\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SA\cap \left( ABCD \right)=A \\
& SO\bot \left( ABCD \right)=O \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow $ $ AO $ là hình chiếu của $ SA $ lên $ \left( ABCD \right)$.
Suy ra góc giữa $SA$ và $\left( ABCD \right)$ là góc giữa $SA$ và $AO$ nên $\widehat{SAO}=60{}^\circ $.
Ta có $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ )
Suy ra $AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét $\Delta SAO$ vuông tại $O$ : $\tan \widehat{SAO}=\dfrac{SO}{AO}$ $\Rightarrow SO=AO.\tan \widehat{SAO}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{2}\cdot {{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
Ta có $S.ABCD$ là hình chóp đều suy ra $SO\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SA\cap \left( ABCD \right)=A \\
& SO\bot \left( ABCD \right)=O \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow $ $ AO $ là hình chiếu của $ SA $ lên $ \left( ABCD \right)$.
Suy ra góc giữa $SA$ và $\left( ABCD \right)$ là góc giữa $SA$ và $AO$ nên $\widehat{SAO}=60{}^\circ $.
Ta có $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ )
Suy ra $AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Xét $\Delta SAO$ vuông tại $O$ : $\tan \widehat{SAO}=\dfrac{SO}{AO}$ $\Rightarrow SO=AO.\tan \widehat{SAO}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{2}\cdot {{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
Đáp án C.