Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a,$ cạnh bên tạo với đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh...

Ta có $BM\cap \left( SCD \right)=S$ suy ra $\dfrac{d\left( M;\left( SCD \right) \right)}{d\left( B;\left( SCD \right) \right)}=\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow d\left( M;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( B;\left( SCD \right) \right)$.
Lại có $O$ là trung điểm của $BD$ nên suy ra $d\left( B;\left( SCD \right) \right)=2d\left( O;\left( SCD \right) \right)$.
Suy ra $d\left( M;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{4}{3}d\left( O;\left( SCD \right) \right).$
Gọi $K$ là trung điểm $CD$ ta được $OK$ là đường trung bình của $\Delta BCD$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& OK//BC \\
& OK=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Ta có $\left. \begin{aligned}
& CD\bot OK \\
& CD\bot SO \\
& OK;SO\subset \left( SOK \right) \\
& OK\cap SO=O \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow CD\bot \left( SOK \right).$
Mà $CD\subset \left( SCD \right)$ nên $\left( SCD \right)\bot \left( SOK \right).$
Có $\left( SCD \right)\cap \left( SOK \right)=SK.$
Dựng $OH\bot SK\Rightarrow OH\bot \left( SCD \right).$
Suy ra $d\left( O;\left( SCD \right) \right)=OH.$
Ta có $OD$ là hình chiếu của $SD$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$.
Nên $\left( SD;\left( ABCD \right) \right)=\left( SO;OD \right)=\angle SDO={{60}^{0}}$
Trong $\Delta SDO$ vuông tại $O$ có: $\tan \angle SDO=\dfrac{SO}{OD}\Rightarrow SO=OD.\tan {{60}^{0}}.$
$\Rightarrow SO=\dfrac{BD}{2}.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Trong $\Delta SOK$ vuông tại $O$ có
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}\Leftrightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{42}}{14}.$
Vậy $d\left( M;\left( SCD \right) \right)=\dfrac{4}{3}OH=\dfrac{2a\sqrt{42}}{21}.$