Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2},$ cạnh bên bằng $2a.$ Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và...

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right).$ Hình chóp $S.ABCD$ đều nên $H$ là tâm hình vuông $ABCD,\left( SAC \right)\cap \left( ABCD \right)=AC$ và $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \left( SAC \right)\bot \left( ABCD \right).$
Ta có: $HD\bot AC\Rightarrow HD\bot \left( SAC \right).\left( 1 \right)$
Gọi $M$ là trung điểm của $CD,$ suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot HM \\
& CD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SHM \right) $ mà $ CD\subset \left( SCD \right).$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SCD \right)\bot \left( SHM \right) \\
& \left( SCD \right)\cap \left( SHM \right)=SM \\
\end{aligned} \right. $ nên từ $ H $ kẻ đường thẳng vuông góc với $ SM $ tại $ K, $ suy ra $ HK\bot \left( SCD \right)\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra: $\alpha =\left( \left( SAC \right),\left( SCD \right) \right)=\left( HD,HK \right)=\widehat{KHD}.$
Tam giác $KHD$ vuông tại $K$ có $HD=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.\sqrt{2}=a.$
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{D}^{2}}-H{{D}^{2}}}=\dfrac{2}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
Vậy $\cos \alpha =\dfrac{HK}{HD}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}.$