Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2},$ cạnh bên bằng $2a.$ Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và...

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $\left(ABCD\right).$ Hình chóp $S.ABCD$ đều nên $H$ là tâm hình vuông $ABCD,\left(SAC\right)\cap \left(ABCD\right)=AC$ và $SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\Rightarrow \left(SAC\right)\mathrm{\perp }\left(ABCD\right).$
Ta có: $HD\mathrm{\perp }AC\Rightarrow HD\mathrm{\perp }\left(SAC\right).\left(1\right)$
Gọi $M$ là trung điểm của $CD,$ suy ra: $\{\begin{array}{rl}& CD\mathrm{\perp }HM\\ & CD\mathrm{\perp }SH\end{array}\Rightarrow CD\mathrm{\perp }\left(SHM\right)$ mà $CD\subset \left(SCD\right).$
$\{\begin{array}{rl}& \left(SCD\right)\mathrm{\perp }\left(SHM\right)\\ & \left(SCD\right)\cap \left(SHM\right)=SM\end{array}$ nên từ $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $SM$ tại $K,$ suy ra $HK\mathrm{\perp }\left(SCD\right)\left(2\right)$
Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra: $\alpha =(\left(SAC\right),\left(SCD\right))=(HD,HK)=\widehat{KHD}.$
Tam giác $KHD$ vuông tại $K$ có $HD={\displaystyle \frac{1}{2}}BD={\displaystyle \frac{1}{2}}a\sqrt{2}.\sqrt{2}=a.$
${\displaystyle \frac{1}{H{K}^2}}={\displaystyle \frac{1}{H{M}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{S{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{H{M}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{S{D}^2-H{D}^2}}={\displaystyle \frac{2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{4a^2-a^2}}={\displaystyle \frac{7}{3a^2}}\Rightarrow HK={\displaystyle \frac{a\sqrt{21}}{7}}.$
Vậy $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{HK}{HD}}={\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{7}}.$