Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S. ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ ; mặt bên tạo với đáy 1 góc ${{60}^{{}^\circ }}$. Mặt phẳng $\left(P \right)$ chứa $AB$ và tạo với đáy 1 góc ${{30}^{{}^\circ }}$ và cắt các $SC, SD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tính thể tích $V$ cảu khối chóp $S. ABMN$ theo $a$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
B. $V=\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
Gọi $AC\cap BD=\left\{ O \right\}\Rightarrow SO\bot \left(ABCD \right)$ ( vì $S. ABCD$ là hình chóp đều)
Gọi $I, J$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $DC, AB$ và gọi $SO\cap \left(P \right)=\left\{ E \right\}\Rightarrow \left(\left( SDC \right),\left(ABCD \right) \right)=\widehat{SIO}={{60}^{{}^\circ }}$ và $\left(\left( P \right),\left(ABCD \right) \right)=\widehat{EJO}={{30}^{{}^\circ }}$.
Khi đó tam giác $SJI$ đều. Mà $\widehat{EJO}={{30}^{{}^\circ }}=\dfrac{1}{2}\widehat{SJI}\Rightarrow JE$ là phân giác của góc $\widehat{SJI}\Rightarrow F$ là trung điểm của $SI\left(1 \right)$ ( với $JE\cap SI=\left\{ F \right\}$ ). Mặt khác $CD \text{//} AB\Rightarrow CD \text{//} \left(P \right)\Rightarrow CD \text{//} MN\left(2 \right)$
Từ $\left(1 \right)$ và $\left(2 \right)$ suy ra $MN$ là đường trung bình trong tam giác $SBC\Rightarrow \dfrac{SM}{SC}=\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{1}{2}$
Khi đó ta có : $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{{{V}_{S. ABM}}}{{{V}_{S. ABC}}}=\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{S. ABM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S. ABC}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S. ABCD}} \\
\dfrac{{{V}_{S. AMN}}}{{{V}_{S. ACD}}}=\dfrac{SM}{SC}\cdot \dfrac{SN}{SD}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S. AMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S. ACD}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S. ABCD}} \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow {{V}_{S. ABMN}}={{V}_{S. ABM}}+{{V}_{S. AMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S. ABCD}}+\dfrac{1}{8}{{V}_{S. ABCD}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{S. ABCD}}\left(* \right)$
Tam giác $SJI$ đều cạnh $a$ $\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{V}_{S. ABCD}}=\dfrac{1}{3}. SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\left(** \right)$
Thay $\left(** \right)$ vào $\left(* \right)$ ta được ${{V}_{S. ABMN}}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
B. $V=\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}$.
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
Gọi $AC\cap BD=\left\{ O \right\}\Rightarrow SO\bot \left(ABCD \right)$ ( vì $S. ABCD$ là hình chóp đều)
Gọi $I, J$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $DC, AB$ và gọi $SO\cap \left(P \right)=\left\{ E \right\}\Rightarrow \left(\left( SDC \right),\left(ABCD \right) \right)=\widehat{SIO}={{60}^{{}^\circ }}$ và $\left(\left( P \right),\left(ABCD \right) \right)=\widehat{EJO}={{30}^{{}^\circ }}$.
Khi đó tam giác $SJI$ đều. Mà $\widehat{EJO}={{30}^{{}^\circ }}=\dfrac{1}{2}\widehat{SJI}\Rightarrow JE$ là phân giác của góc $\widehat{SJI}\Rightarrow F$ là trung điểm của $SI\left(1 \right)$ ( với $JE\cap SI=\left\{ F \right\}$ ). Mặt khác $CD \text{//} AB\Rightarrow CD \text{//} \left(P \right)\Rightarrow CD \text{//} MN\left(2 \right)$
Từ $\left(1 \right)$ và $\left(2 \right)$ suy ra $MN$ là đường trung bình trong tam giác $SBC\Rightarrow \dfrac{SM}{SC}=\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{1}{2}$
Khi đó ta có : $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{{{V}_{S. ABM}}}{{{V}_{S. ABC}}}=\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{S. ABM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S. ABC}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S. ABCD}} \\
\dfrac{{{V}_{S. AMN}}}{{{V}_{S. ACD}}}=\dfrac{SM}{SC}\cdot \dfrac{SN}{SD}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S. AMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S. ACD}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S. ABCD}} \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow {{V}_{S. ABMN}}={{V}_{S. ABM}}+{{V}_{S. AMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S. ABCD}}+\dfrac{1}{8}{{V}_{S. ABCD}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{S. ABCD}}\left(* \right)$
Tam giác $SJI$ đều cạnh $a$ $\Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{V}_{S. ABCD}}=\dfrac{1}{3}. SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\left(** \right)$
Thay $\left(** \right)$ vào $\left(* \right)$ ta được ${{V}_{S. ABMN}}=\dfrac{3}{8}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$
Đáp án D.