Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $2a$ và $O$ là tâm của đáy. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là các điểm đối xứng với $O$ qua trọng tâm của các tam giác $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$ và $S'$ là điểm đối xứng với $S$ qua $O$. Thể tích của khối chóp $S'.MNPQ$ bằng
A. $\dfrac{20\sqrt{14}{{a}^{3}}}{81}$.
B. $\dfrac{40\sqrt{14}{{a}^{3}}}{81}$.
C. $\dfrac{10\sqrt{14}{{a}^{3}}}{81}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{14}{{a}^{3}}}{9}$.
A. $\dfrac{20\sqrt{14}{{a}^{3}}}{81}$.
B. $\dfrac{40\sqrt{14}{{a}^{3}}}{81}$.
C. $\dfrac{10\sqrt{14}{{a}^{3}}}{81}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{14}{{a}^{3}}}{9}$.
Gọi ${{G}_{1}},{{G}_{2}},{{G}_{3}},{{G}_{4}}$ lần lượt là trọng tâm $\Delta SAB,\Delta SBC,\Delta SCD,\Delta SDA$.
$E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$.
Ta có ${{S}_{MNPQ}}=4{{S}_{{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}{{G}_{4}}}}=4.\dfrac{4}{9}{{S}_{EFGH}}=4.\dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{2}EG.HF=\dfrac{8{{a}^{2}}}{9}$.
$\begin{aligned}
& d\left( {S}',\left( MNPQ \right) \right)=d\left( {S}',\left( ABCD \right) \right)+d\left( O,\left( MNPQ \right) \right)=d\left( S,\left( ABCD \right) \right)+2d\left( O,\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}{{G}_{4}} \right) \right) \\
& =d\left( S,\left( ABCD \right) \right)+\dfrac{2}{3}d\left( S,\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{5}{3}d\left( S,\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{5a\sqrt{14}}{6} \\
\end{aligned}$
Vậy ${{V}_{{S}'.MNPQ}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{5a\sqrt{14}}{6}\cdot \dfrac{8{{a}^{2}}}{9}=\dfrac{20{{a}^{3}}\sqrt{14}}{81}$.
$E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$.
Ta có ${{S}_{MNPQ}}=4{{S}_{{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}{{G}_{4}}}}=4.\dfrac{4}{9}{{S}_{EFGH}}=4.\dfrac{4}{9}.\dfrac{1}{2}EG.HF=\dfrac{8{{a}^{2}}}{9}$.
$\begin{aligned}
& d\left( {S}',\left( MNPQ \right) \right)=d\left( {S}',\left( ABCD \right) \right)+d\left( O,\left( MNPQ \right) \right)=d\left( S,\left( ABCD \right) \right)+2d\left( O,\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}{{G}_{4}} \right) \right) \\
& =d\left( S,\left( ABCD \right) \right)+\dfrac{2}{3}d\left( S,\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{5}{3}d\left( S,\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{5a\sqrt{14}}{6} \\
\end{aligned}$
Vậy ${{V}_{{S}'.MNPQ}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{5a\sqrt{14}}{6}\cdot \dfrac{8{{a}^{2}}}{9}=\dfrac{20{{a}^{3}}\sqrt{14}}{81}$.
Đáp án A.